Límite matemático

Keywords: Límite matemático, Análisis matemático, Análisis real, Continuidad, Convergencia, Cálculo, Delta, Derivación

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Tabla de contenidos

1 Límite de una función

1.1 Definición
1.2 Ejemplos

2 Límite de una sucesión

2.1 Definición
2.2 Ejemplos

Límite de una función

Definición

Informalmente, decimos que el límite de la función $f (x)$ es $L$ cuando $x$ tiende á $a$ , y escribimos

lím ${}_{x\to a} \, \, f(x) = L$

si se puede encontrar $x$ suficientemente cerca de $a$ tal que $f (x)$ es tan cerca de $L$ como se quiera. ( $a$ puede ser finito o infinito.) Es decir, la límite es $L$ si $y$ tiende a $L$ cuando $x$ tiende á $a$ . Más precisamente, decimos que $f(x) \to L \Leftrightarrow$

$\forall \epsilon > 0$ $\exists \delta > 0 : |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon.$

Esta definición se llama frecuentemente la definición épsilon-delta del límite, y a pesar de su finura conceptual tiene mala fama entre estudiantes del cálculo, debida parcialmente a su incomprensibilidad superficial.

Ejemplos

Límite de una sucesión

Definición

La definición del límite en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando $x$ va a $\infty$ . Decimos que la sucesión $a n$ tiende hasta su límite $a$ , o que converge o es convergente, y escribimos

lím ${{}_{n\to\infty}}a_n = a$

si podemos encontrar un número $N$ tal que todos los términos de la sucesión después de $a N$ están tan cerca del límite a como queramos. Es decir, una sucesión converge si $a n$ acerca $a$ cuando $n$ crece sin cota. Más precisamente, $a_n \to a \Leftrightarrow$

$\forall\epsilon>0\exists N>0 : \forall n>N |a_n - a|<\epsilon$ .

Ejemplos

$\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8},\ldots\to0$ $3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.141592,\ldots\to\pi$