Ley de Poiseuille

Keywords: Ley de Poiseuille, 1797, 1838, 1839, 1840, 1846, 1856, 1858, 1859

La ley de Poiseuille (también conocida como ley de Hagen-Poiseuille después de los experimentos llevados a cabo por Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen (1797-1884) en 1839) es la ley que permite determinar el flujo laminar estacionario Φ_V de un líquido incompresible y uniformemente viscoso (también denominado fluido newtoniano) a través de un tubo cilíndrico de sección circular constante. Esta ecuación fue derivada experimentalmente en 1838, formulada y publicada en 1840 y 1846 por Jean Louis Marie Poiseuille (1797-1869). La ley queda formulada del siguiente modo:

$\Phi_{V} = {dV\over dt} = v_{media}\pi R^{2} = {\pi R^{4}\over 8 \eta} \left( - { d p \over dz}\right) = {\pi R^{4}\over 8 \eta} { \Delta p \over L} \; ,$

donde V es el volumen del líquido que circula en la unidad de tiempo t, v_media la velocidad media del fluido a lo largo del eje z del sistema de coordenadas cilíndrico, R es el radio interno del tubo, Δp es la caída de presión entre los dos extremos, η es la viscosidad dinámica y L la longitud característica a lo largo del eje z. La ley se puede derivar de la ecuación de Darcy-Weisbach, desarrollada en el campo de la hidráulica y que por lo demás es válida para todos los tipos de flujo. La ley de Hagen-Poiseuille se puede expresar también del siguiente modo:

$\lambda = {64\over {\it Re}} \; , \quad\quad Re = {2\rho v_{s} R\over \eta} \; ,$

donde Re es el número de Reynolds y ρ es la densidad del fluido. En esta forma la ley aproxima el valor del factor de fricción, la energía disipada por la perdida de carga, el factor de pérdida por fricción o el factor de fricción de Darcy λ en flujo laminar a muy bajas velocidades en un tubo cilíndrico. La derivación teórica de la formula original de Poiseuille fue realizada independientemente por Wiedman en 1856 y Neumann y E. Hagenbach en 1858 (1859, 1860). Hagenbach fue el primero que la denominó como ley de Poiseuille.

La ley es también muy importante en hemodinámica.

La ley de Poiseuille fue extendida en 1891 para flujo turbulento por L. R. Wilberforce, basandose en el trabajo de Hagenbach.

Cálculo de la fórmula

350px|left Consideremos una tubería horizontal de radio R constante y dentro de ella dos secciones transversales 1 y 2, estas secciones están separadas una distacia L. Estas secciones delimitan un trozo de tubería que en la imagen adjunta queda delimitada por los puntos ABCD. Dentro de la tubería indicada consideramos a su vez un cilindro coaxial delimitado por los puntos abcd con base w y radio r. Debido a la viscosidad del fluido sobre este cilindro actua una fuerza cortante denominada T. Esta fuerza tiene sentido contrario al sentido de desplazamiento del fluido. Integrando las fuerzas que actuan sobre el cilindro considerado obtenemos la expresión de la ley de Poiseuille.

De acuerdo a la primera ley de Newton, si p₁ y p₂ son las presiones aplicadas en el centro de gravedad del área transversal del cilindro en las secciones 1 y 2 tenemos que:

p 1 w - p 2 w - T = 0

Sustituyendo el valor de la superficie w y del esfuerzo cortante $T = \eta {dv\over dr}$ tenemos que:

$p_1 \pi r^2 - p_2 \pi r^2 - 2 \pi r L \eta {dv \over dr} = 0$

Simplificando queda:

$\pi r^2 \Delta p = -2 \pi r L \eta {dv \over dr}$

$r \Delta p = -2 L \eta {dv \over dr}$

Con lo que:

$dv = -{\Delta p \over 2 L \eta} r dr$

Integrando esta ecuación:

$v = -{\Delta p \over 4 L \eta} r^2 + C$

El valor de la constante C queda determinada por las condiciones en los límites. Es decir cuando r=R entonces v=0. Por lo que:

$C = {\Delta p \over 4 L \eta} R^2$

Sustituyendo el valor de C en la ecuación inicial tenemos que:

$v = {\Delta p \over 4 L \eta} \left(R^2 - r^2 \right)$

Esta ecuación nos da la distribución de velocidades en una tubería. Como se puede observar el termino del radio elevado al cuadrado nos indica que se trata de un paraboloide. Donde la velocidad máxima se obtiene en el eje del mismo y que coincide con el eje de la tubería. Zona en la que los efectos del rozamiento con las paredes de la tubería es mínima. La expresión de la velocidad máxima queda del siguiente modo:

$v_{max} = {\Delta p \over 4 L \eta} R^2$

En la práctica es más sencillo medir la velocidad media que la velocidad máxima. La expresión de la velocidad media es la siguiente:

$v_{media} = {Q \over \pi R^2}$

Para calcular el caudal en la tubería vamos a considerar un anillo diferencial de espesor dr entre dos circunferencias concentricas con el eje de la tubería y radios r y r + dr. En este caso la expresión del caudal queda:

d Q = 2π r d r v

Sustituyendo la expresión de la velocidad calculada anteriormente tenemos que:

$dQ = 2 \pi r dr {\Delta p \over 4 L \eta} \left(R^2 - r^2 \right)$

Integrando la ecuación anterior entre los límites 0 y R podremos calcular el caudal total:

$Q = dQ = \int_{0}^{R} \ dQ = \int_{0}^{R} 2 \pi r dr {\Delta p \over 4 L \eta} \left(R^2 - r^2 \right)\ dQ =$

$= {\pi \Delta p \over 2 L \eta}\int_{0}^{R} \left(R^2 - r^2 \right) r\ dQ = {\pi \Delta p \over 2 L \eta} \left({R^4 \over 2} - {R^4 \over 4} \right)$

y finalmente obtenemos la expresión de la ley de Poiseuille para el caudal:

$Q = {\Delta p \pi R^4 \over 8 L \eta}$

si seguimos trabajando sobre esta fórmula y sustituimos esta expresión del caudal en la fórmula anterior de la velocida media obtenemos lo siguiente:

$v_{media} = {Q \over \pi R^2} = {\Delta p R^2 \over 8 L \eta} = {\Delta p D^2 \over 32 L \eta}$

de donde se deduce que:

$v_{media} = {v_{max} \over 2}$

despejando la pérdida de presión en las anteriores ecuaciones obtenemos:

$\Delta p = {32 \eta L v_{media} \over D^2}$

que no deja de ser otra expresión de la ley de Poiseuille para la pérdida de presión en una tubería de sección constante con flujo laminar. Si dividimos y multiplicamos el segundo miembro de la ecuación anterior por la expresión $2ρ v m e d i a g$ tenemos que:

$\Delta p = {32 \eta L v_{media} \over D^2} {2 \rho v_{media} g \over 2 \rho v_{media} g} = {64 \eta \over v_{media} D \rho} {L \over D} {v_{media}^2 \over 2 g} \rho g=$

donde ${\Delta p \over \rho g} = h_f$ es la pérdida de carga y $Re = {v_{media} D \rho \over \eta}$ es la expresión del número de Reynolds, con lo que la pérdida de carga queda expresada del siguiente modo:

$h_f = {64 \over Re} {L \over D} {v_{media}^2 \over 2 g}$

comparando esta última expresión con la ecuación de Darcy-Weisbach se deduce el valor de $λ$ :

$\lambda = {64 \over {\it Re}}$

siendo esta otra expresión de la ecuacion de Hagen-Poiseuille.

Curiosidad

La ley en si misma muestra cómo de interesante es este campo, dado que la ecuación de Darcy-Weisbach debería ser denominada completa y propiamente como ecuación de Chézy-Weisbach-Darcy-Poiseuille-Hagen-Reynolds-Fanning-Prandtl-Blasius-von Kármán-Nikuradse-Colebrook-White-Rouse-Moody o abreviadamente como CWDPHRFPBKNCWRM.

Nótese también como en la formula el flujo depende fuertemente del radio. Si el resto de factores permanece constante, el doblar el radio del canal da como resultado un incremento en 16 veces del flujo.

Relación con los circuitos eléctricos

La electricidad fue originalmente entendida como una clase de fluido. Esta analogía hidráulica es todavía útil en el ámbito académico con fines didácticos.

La ley de Poiseuille se corresponde con la ley de Ohm para los circuitos eléctricos, donde la caída de presión Δp^* es reemplazada por el voltaje V y el caudal Φ_V por la corriente eléctrica I. De acuerdo con esto el término 8η l/πr⁴ es un sustituto adecuado para la resistencia eléctrica R.