Ley de Gauss

Keywords: Ley de Gauss, Carga puntual, Constante gravitatoria universal, Ecuaciones de Maxwell, Electrostática, Gravedad, Ley de Coulomb, Relatividad general, Teorema de Gauss

Ley física que expresa la relación entre el flujo de un campo (eléctrico, magnético o gravitatorio) y la cantidad de carga o masa que lo produce.

Ley de Gauss para el campo eléctrico

Gauss, Ley Gauss En su forma integral, la ley de Gauss establece que

$\oint \vec E(\vec r)\cdot d\vec S = \frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0}$

En palabras, el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total contenida en el interior de dicha superficie, dividida por la permitividad del vacío.

Esta ley puede interpretarse, en electrostática, entendiendo el flujo como una medida del número de líneas de campo que atraviesan la superficie en cuestión. Para una carga puntual es evidente que este número es constante si la carga está contenida por la superficie y es nulo si esta fuera (ya que hay el mismo número de líneas que entran como que salen). Además, al ser la densidad de líneas proporcionales a la magnitud de la carga, resulta que este flujo es proporcional a la carga, si está encerrada, o nulo, si no lo está.

Imagen:LeyGauss1.jpg

Imagen:LeyGauss2.jpg

Cuando tenemos una distribución de cargas, por el principio de superposición, solo tendremos que considerar las cargas interiores, resultando la ley de Gauss.

Sin embargo, aunque esta ley se induce de la ley de Coulomb, es más general que ella, ya que se trata de una ley universal, válida en situaciones no electrostáticas en las que la ley de Coulomb no es aplicable.

Aplicando el teorema de Gauss podemos obtener la versión local de la ley de Gauss

$\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$

La Ley de Gauss es una de las cuatro ecuaciones de Maxwell.

Ley de Gauss para el campo magnético

Al igual que para el campo eléctrico, existe una ley de Gauss para el campo magnético, que se expresa en sus formas integral y diferencial como

$\oint \vec B(\vec r)\cdot d\vec S = 0$

$\nabla \cdot \vec B = 0$

Esta ley expresa la inexistencia de cargas magnéticas o, como se conocen habitualmente, monopolos magnéticos. Las distribuciones de fuentes magnéticas son siempre neutras en el sentido de que posee un polo norte y un polo sur, por lo que su flujo a través de cualquier superficie cerrada es nulo.

Imagen:LeyGauss4.jpg

Caso de que se descubriera experimentalmente la existencia de monopolos, esta ley debería ser modificada para acomodar las correspondientes densidades de carga, resultando una ley en todo análoga a la ley de Gauss para el campo eléctrico.

Ley de Gauss para el campo gravitatorio

Dada la similitud entre la ley de Newton de la gravitación universal y la ley de Coulomb, puede deducirse una ley análoga para el campo gravitatorio, la cual se escribe

$\oint \vec E(\vec r)\cdot d\vec S = -4\pi G M_{\rm int}$

$\nabla \cdot \vec E = -4\pi G\rho_m$

siendo G la constante de gravitación universal. El signo menos en esta ley y el hecho de que la masa siempre sea positiva significa que el campo gravitatorio siempre es atractivo y se dirige hacia las masas que lo crean.

Sin embargo, a diferencia de la ley de Gauss para el campo eléctrico, el caso gravitatorio es solo aproximado y se aplica exclusivamente a masas pequeñas en reposo, para las cuales es válida la ley de Newton. Al modificarse la teoría de Newton mediante la Teoría de la Relatividad general, la ley de Gauss deja de ser cierta, ya que deben incluirse la gravitación causada por la energía y el efecto del campo gravitatorio en el propio espaciotiempo (lo que modifica la expresión de los operadores diferenciales e integrales).

Keywords: Ley de Gauss, Carga puntual, Constante gravitatoria universal, Ecuaciones de Maxwell, Electrostática, Gravedad, Ley de Coulomb, Relatividad general, Teorema de Gauss