Lema de Yoneda

Keywords: Lema de Yoneda, Anillo (álgebra), Aplicación, Conjunto, Funtor, Geometría algebraica, Grupo, Monoide, Morfismo

El lema de Yoneda en Teoría de las categorías nos permite sumergir una categoría en otra categoría de funtores definida sobre aquella, y clarifica cómo la categoría sumergida se relaciona con los objetos de la categoría de funtores que la sumerge. Es una herramienta importante que se encuentra subyacente a varios de los desarrollos modernos en Geometría algebraica y Teoría de la representación. Es una extensa generalización del Teorema de Cayley de la Teoría de grupos (todo grupo es un monoide que es una categoría con un sólo objeto).

Filosofía

Hablando en general, el lema de Yoneda sugiere que en vez de investigar la categoría(pequeña) C, podemos estudiar la categoría de todos los funtores desde C a la categoría Set (donde Set es la categoría de todos los conjuntos con las aplicaciones en el papel de morfismos). Set es la categoría que mejor entendemos, y un funtor de C a Set puede verse como una "representación" de C en términos de estructuras conocidas. La categoría original C está contenida en dicha categoría de funtores, pero en esta aparecerán objetos nuevos que en cierto modo estaban escondidos en C. Tratando tales objetos nuevos como los viejos en C a menudo unificamos y simplificamos la teoría.

Este modo de ver es parecido (y de hecho lo generaliza) al método corriente de estudiar un anillo mediante el estudio de los módulos sobre el anillo. El anillo haría el papel de la categoría C, y la categoría de funtores donde se le embebe sería la categorías de módulos sobre el anillo embebido.

Planteamiento formal del lema

Traducción del breve artículo de la enciclopedia libre Planeth math:"Yoneda embedding", que nos va a ayudar a plantear rápidamente el problema.

Si $\mathcal{C}$ es una categoría, llamemos $\hat{\mathcal{C}}$ a la categoría de funtores contravariantes desde $\mathcal{C}$ a $S e t s$ , la categoría de conjuntos. Los morfismos en esta categoría $\hat{\mathcal{C}}$ son las transformaciones naturales de funtores.

(Para evitar vérnolas con problemas teórico conjuntistas, podemos tomar un universo $\mathcal{U}$ y todas las categorías como $\mathcal{U}$ -"pequeñas".)

Para cualquier objeto $X$ de $\mathcal{C}$ , existe un funtor $h X = Hom( - , X)$ . Fijarse que este objeto, de la categoría de funtores, esto es, este funtor asociado al objeto X, asocia a X el conjunto de todas las flechas que terminan en él, como objeto de su categoría. Entonces $X\mapsto h_X$ es un funtor covariante $\mathcal{C}\to\hat{\mathcal{C}}$ , el cual "embebe" $\mathcal{C}$ "faithfully" como una subcategoría "full" de $\hat{\mathcal{C}}$ .

A continuación continúa el trabajo de traducción del artículo de la wikipedia inglesa.

Se denota por Fun(C^op,Set) a la categoría de funtores contravariantes desde C a Set. Los morfismos en esta categoría son transformaciones naturales; escribiremos Nat(F,G) para denotar a los conjuntos de todas las transformaciones naturales entre los funtores F y G. Si A es un objeto de C, entonces podemos asignar a cada objeto X de C el conjunto de los morfismos Mor(X,A). Cada morfismo $\phi : X \rightarrow Y$ en C induce una aplicación Mor(Y,A) $\rightarrow$ Mor(X,A) mediante la regla f $\rightarrow$ fφ. Tenemos así definido un funtor contravariante Mor( - ,A) de C a Set, esto es, un elemento de Fun(C^op,Set).

Tal funtor es denominado funtor representable para C – a menudo denotado con h_A.

La asignación

A |→ Mor( - ,A)

nos da un funtor covariante

Y : C → Fun(C^op,Set)

A este funtor se le llama embebimiento de Yoneda y es "natural" en el sentido de que cada functor C -> D induce un diagrama conmutativo

D --> Fun(D^op,Set)

|         | 
 |         |
 |         |
 V         V

C --> Fun(C^op,Set)

de los correspondientes embebimientos de Yoneda.

Lo que nos dice el lema de Yoneda es que Y es finalmente un embebimiento full, completo, ya que para todos los objetos A, B en C, el funtor Y induce una biyección

Mor(A,B) → Nat(Y(A), Y(B)).

En otras palabras: los morfismos entre A y B en la categoría original C son "los mismos" que los morfismos entre los dos objetos correspondientes Y(A), Y(B) en la categoría extendida. Fun(C^op,Set).

E incluso más: para todo funtor contravariante F : C → Set y para todo objeto A en C, existe una biyección natural

F(A) → Nat(Y(A), F)

que quiere decir que si conoces cómo se comporta el funtor F sobre C, entonces también sabes cómo éste funciona en la imagen de C e la categoría extendida.

Categorías preaditivas, anillos y módulos

Una categoría preaditiva es una categoría donde los conjuntos de morfismos son grupos abelianos y donde la composición de morfismos es bilineal; como ejemplos tenemos las categorías de grupos abelianos o módulos. En una categoría preaditiva, hay tanto una multiplicación como una suma de morfismos, y esto es por lo que las categorías preaditivas se tiene como generalizaciones de anillos. Los anillos son categorías preaditivas con un sólo objeto.

El lema de Yoneda sigue siendo cierto para las categorías preaditivas si elegimos como extensión a la categoría de funtores contravariantes aditivos que van desde la categoría original a la categoría de grupos abelianos; estos son funtores compatibles con la adición de morfismos y que se puede pensar que forman cierta categoría módulo sobre la categoría original. El lema de Yoneda nos da entonces el procedimiento natural para agrandar una categoría preaditiva tal que lo que obtengamos con esto siga siendo preaditivo — de hecho, la versión extendida de nuestra categoría es una categoría abeliana, lo que es una condición mucho más potente. En el caso de un anillo R, la categoría extendida es la categoría de todos los módulos por la derecha sobre R, y el lema de Yoneda nos viene a decir sólo este isomorfismo bien conocido

M = Hom_R(R,M) para todos los módulos por la derecha M sobre R.