Igualdades notables

Keywords: Igualdades notables, Anillo (matemáticas), Binomio de Newton, Coeficiente binomial, Conjunto, Factorial, Matemáticas, Número complejo, Número entero

En matemáticas se conocen como igualdades notables algunas identidades ciertas en todo anillo anillo (que a veces debe ser unitario, en particular en el conjunto de los números enteros, de los reales o de los complejos. Sirven en general para acelerar los cálculos, simplificar algunas expresiones, factorizar o desarrollar expresiones matemáticas.

Aquí se citan las más conocidas: en un anillo abeliano unitario A, para todo par (a,b) de elementos de A y para todo entero n, se tiene:

$(a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2$
$(a - b) 2 = a 2 - 2 a b + b 2$
$(a - b)(a + b) = a 2 - b 2$
$(a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3$
$(a - b) 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3$
$a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - a b + b 2)$
$a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + a b + b 2)$

Que se generaliza así:

$(a-b)\sum_{i=0}^{i=n}a^ib^{n-i} = a^{n+1} - b^{n+1}$
$(a+b)^n = \sum_{i=0}^{i=n}C_n^ia^ib^{n-i}$ que tiene el nombre de binomio de Newton.

Notación: en las fórmulas que se acaban de mostrar las C son los coeficientes binomiales $C_n^i=\frac{n!}{i!(n-i)!} = {n \choose i}$ donde k! designa el factorial de k.

Keywords: Igualdades notables, Anillo (matemáticas), Binomio de Newton, Coeficiente binomial, Conjunto, Factorial, Matemáticas, Número complejo, Número entero