Identidad de Euler

Keywords: Identidad de Euler, Adición, Aritmética, Ecuaciones de Maxwell, Elemento neutro, Euler, Geometría, Multiplicación, Número e

La fórmula :

$e^{i \pi} + 1 = 0\;$

llamada identidad de Euler, es ciertamente la fórmula más importante de las matemáticas, pues une de forma escueta (y misteriosa) distintos campos de esta ciencia:

π es el número mas importante de la geometría.

e es el número mas importante del análisis.

i es el número mas importante del álgebra.

0 y 1 son las bases de la aritmética por ser los elementos neutros respectivamente de la adición y la multiplicación.

Otra curiosidad de esta fórmula es que, si la escribimos de esta manera:

$e^{i \pi} = -1\;$

representa la evolución del concepto de número a lo largo de la historia. Desde el concepto más intuitivo, los números naturales, conocidos desde la prehistoria, añadiendo los números negativos (representados por -1) obtenemos los números enteros. Luego, añadiendo las fracciones (no aparecen) obtenemos los racionales. Después, añadiendo los irracionales (e y π) obtenemos los números reales. Y finalmente, añadiendo los números imaginarios (representados por i) obtenemos los números complejos.

Volviendo a la primera fórmula, se puede ver que también cuenta la historia de una evolución en las matemáticas, en este caso de las operaciones aritméticas. Aparecen una suma, un producto y una potencia.

la demostracion de la identidad es sencilla para ello partiremos de los algoritmos de tipo series infinitas del seno y de $e x;$ , siendo estos:

$e^{x} = 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}...=\sum_{n=o}^\infty\left( \frac{(x)^{(n-1)}}{(n-1)!}\right);$

$sen{x} = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}...=S_\inf\frac{-(-1)^n *x^{2n-1}}{(2n-1)!};$

Y teniendo en cuenta que $i^2=-1 \;$ ; $i^3=-i \;$ ; $i^4=1 \;$ podemos sustituir en el algoritmo de $e x$

$e^{z*i} = 1+\frac{z*i}{1!}+\frac{-z^2}{2!}+\frac{z^3*-i}{3!}+\frac{z^4}{4!}...=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{-(-1)^n*x^{2n-1}}{(2n-1)!}\right)*i+\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(-1)^n*z^2n}{2n!}\right)+1$

e z * i = i * s e n z + c o s x

Una vez lograda esta expresion es secillo anular la parte imaginaria sabiendo que $sen{\pi}=0\;y cos{\pi}=-1$

$z={\pi}\;$

${{ver}} <math>c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}$ Una de las ecuaciones de Maxwell relacionando tres constantes fundamentales de la fisica.