Identidad de Bézout

Keywords: Identidad de Bézout, Algoritmo extendido de Euclides, Anillo (álgebra), Máximo común divisor, Número entero

La identidad de Bézout enuncia que si a y b son números enteros con máximo común divisor d, entonces existen enteros x e y tales que

ax + by = d

Los números x e y pueden determinarse mediante el algoritmo extendido de Euclides, pero no se determinan de forma unívoca.

Por ejemplo, el máximo común divisor de 12 y 42 es 6, y podemos escribir

(-3)·12 + 1·42 = 6

y también

4·12 + (-1)·42 = 6.

La identidad de Bézout no sólo funciona en el anillo de los enteros, sino que también es válido en cualquier otro dominio de ideales principales (DIP). Es decir, si R es un DIP, y a y b son elementos de R, y d es el máximo común divisor de a y b, entonces existen x e y elementos de R tales que ax + by = d.