Ideal de un anillo

Keywords: Ideal de un anillo, Anillo, Anillo (matemáticas), Cero, Combinación lineal, Subconjunto, Teoría del orden, Álgebra abstracta

En teoría de anillos, una rama del Álgebra abstracta, un ideal de un anillo R es un subconjunto I de R que es cerrado bajo combinaciones R-lineales, de una forma que luego precisaremos. El concepto de un Ideal de un orden que es definido en Teoría del orden se deriva de esta noción y es discutido en el correspondiente artículo.

Definiciones

Para permitir el uso de anillos no conmutativos, debemos distinguir tres casos: ideales por la izquierda, l-ideales, ideales por la derecha, d-ideales, y los ideales por ambos lados.

Un subconjunto I del anillo R es un l-ideal de R si

1: el elemento cero 0 de R pertenece a I

2: para todo a,b en I, se tiene que a + b está en I, y que

3L: para todo a en I y r en R, se tiene que ra está en I

Un subconjunto I de R es un r-ideal de R si, además de las propiedades 1 y 2 de arriba, satisface

3R: para todo a en I y r en R, se tiene que ar está en I

Un subconjunto que sea a la vez l- y r-ideal (esto es, que satisfaga las propiedades 1, 2, 3L, y 3R) se dice ideal por ambos lados de R, o meramente ideal.

Si el anillo R es conmutativo, los tres tipos de ideales son el mismo. Si el anillo es no-conmutativo pueden diferir.

Categoría:Teoría de anillos

Keywords: Ideal de un anillo, Anillo, Anillo (matemáticas), Cero, Combinación lineal, Subconjunto, Teoría del orden, Álgebra abstracta