Grupo uniparamétrico
Keywords: Grupo uniparamétrico, Análisis funcional, Continuo, Elemento neutro, Espacio de Hilbert, Función exponencial, G, Grupo abeliano, Grupo de Lie
En matemáticas, un grupo uniparamétrico o subgrupo uniparamétrico significa generalmente un homomorfismo de grupo continuo
- φ: R → G
de la recta real R (como grupo aditivo) a un otro grupo topológico G. Esto significa que no es de hecho un grupo, en sentido estricto; si φ es inyectivo φ(R), la imagen, será un subgrupo de G que es isomorfo a R como grupo aditivo. Es decir, comenzamos sabiendo solamente esto
- φ (s + t) = φ(s) + φ(t)
donde s, t son los parámetros de los elementos del grupo G. Podemos tener
- φ(s) = e, el elemento identidad en G,
para un cierto s ≠ 0. Esto sucede por ejemplo si G es el círculo unidad y
- φ(s) = eis.
En ese caso el núcleo de φ consiste en los múltiplos enteros de 2π.
La otra complicación técnica es que φ(R) como subespacio de G puede llevar una topología que sea más gruesa que la de R; esto puede suceder en casos donde φ es inyectivo. Piense por ejemplo en el caso donde está un toro G T, y el Æ es construido enrollando una línea recta T redondo en una cuesta irracional.
Un subgrupo por lo tanto del uniparamétrico del grupo o del uniparamétrico tiene que ser distinguido de un grupo o de un subgrupo sí mismo, por las tres razones
- tiene una parametrización definida,
- el homomorfismo de grupos puede no ser inyectivo, y
- la topología inducida puede no ser la estándar de la recta real.
Tales grupos uniparamétricos son de importancia básica en la teoría de los grupos de Lie, para quienes cada elemento del álgebra de Lie asociada define tal homomorfismo, la función exponencial. En el caso de grupos matriciales viene dado por la exponencial matricial.
Otro caso importante se ve en el análisis funcional, con G siendo el grupo de los operadores unitarios en un espacio de Hilbert.