Geometría
Keywords: Geometría, Análisis matemático, Axioma, Cilindro (geometría), Cono (geometría), Cálculo, Círculo, Elipse, Elipsoide
La geometría es una rama de la matemática que estudia las propiedades las figuras en el plano o en el espacio.
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Historia
El origen de la geometría se encuentra en el inicio mismo del pensamiento humano en el que se experimenta, mide, etc. El estudio formal de la geometría comienza en la antigua Grecia donde era muy valorada por los filósofos. Uno de los principales exponentes de esta época es Euclides que implementa claramente el sistema axiomático deductivo en la obra llamada Elementos; en esta se proponen los axiomas o postulados de la geometría euclídea y a partir de ellos se demuestran 465 proposiciones o teoremas estableciendo una estructura a la que recién en el siglo XIX le fueron encontrados algunos fallos, al ser examinados críticamente los fundamentos de la geometría.
Axiomas
Los axiomas son proposiciones Estos proponen una relación entre los conceptos primeros, que a la vez, funcionarán como definición, ya que estos no pueden ser definidos de otra forma. A pesar de que existen distintos sistemas axiomáticos, vamos a ver un ejemplo común. Para facilitar su estudio se distingue cinco grupos de axiomas:
Existencia, e Incidencia.
- Existen infinitos puntos. (el conjunto de todos estos es llamado "espacio")
- Existen conjuntos parciales e infinitos de puntos del espacio llamados "planos"
- En cada plano existen conjuntos parciales e infinitos de puntos llamados "rectas"
- Dos puntos determinan una recta.
- Tres puntos determinan un plano.
- Si dos puntos de una recta están en un plano, entonces todos sus puntos están en el plano.
De lo que se deducen los siguientes teoremas:
- Dado un plano existen infinitos puntos que no pertenecen a este
- Al ser el plano un subconjunto parcial del espacio existe un punto exterior y por lo tanto una recta definida por este punto y un punto del plano, con infinitos puntos fuera del plano.
Ordenación.
- La recta es un conjunto de puntos linealmente denso.
Movimiento e Igualdad.
Los movimientos son transformaciones puntuales biunivocas Dos figuras son congruentes si son homologas (se corresponden) en un movimiento
Continuidad.
Dadas dos clases en una recta tal que todos los puntos no que pertenecen a una de ellas preceden a los de la otra, y si dado un punto cualquiera de la recta, entonces [(si no pertenece a la primera) entonces (pertenece a la segunda)] entonces, existe un punto que precede a todo punto de la segunda clase (excepto quizas a si mismo) y sigue a todo punto de la segunda (excepto quizas a si mismo)
Clases de geometrías
thumb|250px|Toroide Estos axiomas son válidos en la llamada geometría absoluta, y por lo tanto para todas las geometrías. Teniendo en cuenta más axiomas se obtienen otras geometrías. Entre ellas:
- Geometría euclídea: Agregando el postulado del paralelismo. Que se divide a su vez en:
- Geometría plana: Parte de la geometría que considera las figuras cuyos puntos están todos en un plano.
- Geometría proyectiva: Geometría obtenida al suponer que dos rectas paralelas se cortan en un punto en el infinito.
- Geometría espacial: Parte de la geometría que considera las figuras cuyos puntos no están todos en un mismo plano.
- Geometría descriptiva: Parte de las matemáticas que tiene por objeto resolver los problemas de la geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano y representar en él las figuras de los sólidos.
- Geometría plana: Parte de la geometría que considera las figuras cuyos puntos están todos en un plano.
Utilizando otro postulado de paralelismo, se obtienen otras geometrías, donde el plano, resulta no ser plano.
- Geometría Esférica: Donde el plano es una esfera.
- Geometría Hiperbólica: Donde el plano es un hiperboloide.
Aplicando los axiomas de otras áreas se obtienen:
- Geometría analítica: Estudio de figuras que utiliza un sistema de coordenadas y los métodos del análisis matemático.
- Geometría algorítmica: Aplicación del álgebra a la geometría para resolver por medio del cálculo ciertos problemas de la extensión.
- Geometría Fractal: Estudio de las formas complejas generadas por iteraciones que tienden al infinito.
Las formas geométricas
- Las formas geométricas planas:
- Las formas geométricas espaciales:
- Superficies regladas:
- Superficies de revolución: Cilindro | Cono | Esfera | Elipsoide | Paraboloide | Hiperboloide
- Superficie no reglada
Enlaces
Demostraciones del quinto postulado