Función hiperbólica

Keywords: Función hiperbólica, Catenaria, Función derivada, Función recíproca, Trigonometría

Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas ordinarias o funciones circulares. Estas son:

Curvas de la funciones hiperbólicas
sinh, cosh y tanh
Curvas de las funciones hiperbólicas
csch, sech y coth

$\sinh(x) = \frac {e^x - e^{-x}} {2}$

(seno hiperbólico)

$\cosh(x) = \frac {e^x + e^{-x}} {2}$

(coseno hiperbólico)

$\tanh(x) = \frac {\sinh(x)} {\cosh(x)}$

(tangente hiperbólica)

$\coth(x) = \frac {\cosh(x)} {\sinh(x)}$

(cotangente hiperbólica)

$\mbox{sech}(x) = \frac {1} {\cosh(x)}$

(secante hiperbólica)

$\mbox{csch}(x) = \frac {1} {\sinh(x)}$

(cosecante hiperbólica)

Relación con las funciones trigonométricas ordinarias

sinh(x + y) = sinh(x)cosh(y) + cosh(x)sinh(y)

cosh(x + y) = cosh(x)cosh(y) + sinh(x)sinh(y)

y las fórmulas sobre la "mitad del ángulo"

$\cosh(\frac{x}{2})^2 = \frac{1+\cosh(x)}{2}$

$\sinh(\frac{x}{2})^2 = \frac{\cosh(x) - 1}{2}$

La derivada de $sinh(x)$ está dada por $cosh(x)$ y la derivada de $cosh(x)$ es $sinh(x)$ . El gráfico de la función $cosh(x)$ se denomina catenaria.

Inversas de las funciones hiperbólicas

Las funciones recíprocas de las funciones hiperbólicas:

$\mbox{arcsinh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$

$\mbox{arccosh}(x) = \ln(x \pm \sqrt{x^2 - 1})$

$\mbox{arctanh}(x) = \ln\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1-x}\right) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ fdag

$\mbox{arccoth}(x) = \ln\left(\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x-1}\right) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$

:<math>\mbox{arcsech}(x) = \ln\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 - x^2}}{x}\right)</math>: $\mbox{arccsch}(x) = \ln\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 + x^2}}{x}\right)$ LASdf