Función zeta de Riemann

Keywords: Función zeta de Riemann, Bernhard Riemann, Función matemática, Hipótesis de Riemann, Leonhard Euler, Matemáticas, Número complejo, Número primo, Números de Bernoulli

En matemáticas, la función zeta de Riemann zeta es una función de gran importancia en teoría de números, debido a su relación con la distribución de los números primos.

Definición

La función zeta de Riemann ζ(s) está definida para todo número complejo s con parte real > 1 como:

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s}$

En la región{s en C: Re(s) > 1}, esta serie infinita converge. Bernhard Riemann extendió esta función a todos los números complejos s con s ≠ 1. Esta es la función objeto de la hipótesis de Riemann.

Conexión con los números primos

La conexión entre esta función y los números primo fue descubierta por Leonhard Euler:

$\zeta(s) = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}$

el producto infinito se extiende sobre todos los números primos p.

Propiedades básicas

Euler fue capaz de calcular ζ(2k) para valores pares 2k con la fórmula:

$\zeta(2k) = \frac{B_{2k}(2\pi)^{2k}}{2(2k)!}$

donde B_2k son los números de Bernoulli. De esta fórmula se obtiene que: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945 etc. Para números impares no se conoce una solución general.

Ramanujan realizó un gran trabajo sobre esta función.

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