Función lineal

Keywords: Función lineal, Determinante, Álgebra lineal

La linealidad de una función está sujeta a dos definiciones:

Función lineal como propiedad de los sistemas generales

Una función es lineal cuando cumple todas estas propiedades:

Si aplicamos una entrada u₁(x) obtenemos una salida particular y₁(x)
Si aplicamos una entrada u₂(x) obtenemos una salida particular y₂(x)
Entonces si aplicamos u₃(x)=c₁u₁(x)+c₂u₂(x) obtenemos una salida y₃(x)=c₁y₁(x)+c₂y₂(x) para todos los pares de entradas u₁(x) y u₂(x) y para todos los pares de constantes c₁ y c₂.

Esto incluye también a las funciones lineales diferenciales.

Función lineal como propiedad geométrica

Una función lineal es una función matemática de la forma:

f (x) = m x + c

donde c es una constante.

Una función lineal de una única variable x suele escribirse en la forma siguiente

y = m x + c

que se conoce como ecuación de la recta. m es denominada la pendiente de la recta y c es la ordenada en el origen, el valor de y en el punto x=0.

En el caso de una recta el valor de m se corresponde al ángulo de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión

t a n θ = m

Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma

f (x, y) = a x + b y

representa un plano y una función

f (x 1, x 2,..., x n) = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n

representa una hipersuperficie plana de n-1 dimensiones en un volumen n-dimensional.

Sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultaneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser real y no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (dos ecuaciones lineales de dos incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas). Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución.

Véase también: Álgebra lineal

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