Función recíproca

Keywords: Función recíproca, Dominio de definición, Exponencial, Funciones trigonométricas, Función matemática, Imagen, Logaritmo, Número complejo, Teoría de conjuntos

Tabla de contenidos

2.1 Propiedades analíticas
2.2 Propiedades geométricas

Definición

Sea f una función real biyectiva, cuyo dominio (conjunto de definición) es I y cuyo conjunto imagen es J = f(I). Por ser biyectiva, f admite una función recíproca o inversa, denotada f^-1.

Definición: g es la función recíproca de f si para todo x en I, f(x) = y equivale a g(y) = x.

Como consecuencia, g tiene como dominio J, y como conjunto imagen I : g(J) = I. Por simetría de la relación, resulta que si g es la recíproca de f entonces f es la recíproca de g.

imagen:Función_recíproca.png

En el ejemplo, I = [ -6; 2 ] y J = [ -6 ; 6 ].

Propiedades

Propiedades analíticas

Al componer f con g, se obtiene la función identidad: $f \circ g=id_j$ , y $g \circ f = id_i$ . Es otra definición posible de la función recíproca, y se suele representar por el esquema siguiente:

imagen:Función_reciproca_esquema.png

f y g son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir f así: si x es racional, f(x) = x, y si es irracional, f(x) = -x. En este caso muy particular g = f.

Además, en tal caso f y g son monótonas y tienen el mismo sentido de variación (ver la figura).

f y g son simultáneamente derivables: Si una lo es, también lo será la otra, con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g.

Además, en tal caso, para cualquier x de I, si notamos y = f(x), entonces g'(y)· f'(x) = 1. La derivada de g se obtiene así fácilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final).

Propiedades geométricas

Las curvas que representan f y g son simétricas con relación a la primera diagonal, es decir la recta Δ: y = x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el punto M'(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si M' pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición equivalentes.

Las tangentes en M y M' tienen pendientes (coeficientes directores) inversos.Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g'(y)· f '(x) = 1.

Ejemplos

Por construcción misma, la función raíz cuadrada es la recíproca de la función "cuadrada" $x \rightarrow x^2$ . Más generalmente, la raíz de orden n es la recíproca de $x \rightarrow x^n$ .

También por construcción, la exponencial es la recíproca del logaritmo.

Por definición misma, arccos, arcsen y arctan son las recíprocas de las funciones trigonométricas coseno, seno y tangente, lo que permite hallar sus derivadas:

Para $f (x) = cos(x) = y$ , $g (y) = f - 1 (y) = arccos(y)$ , y utilizando $cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1$ se obtiene: $g'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{-\sin(x)} = \frac{1}{-\sqrt{1-\cos^2(x)}} = \frac{-1}{\sqrt{1-y^2}}$

Para $f (x) = tan(x) = y$ , $g (y) = f - 1 (y) = arctan(y)$ , y utilizando $tan'(x) = 1 + tan 2 (x)$ se obtiene: $g'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{1 + \tan^2(x)} = \frac{1}{1+y^2}$

Se generaliza el concepto de función recíproca a otros conjuntos de números, en particular a los complejos, donde el logaritmo (con un dominio restringido) y la exponencial siguen siendo funciones recíprocas.

Keywords: Función recíproca, Dominio de definición, Exponencial, Funciones trigonométricas, Función matemática, Imagen, Logaritmo, Número complejo, Teoría de conjuntos