Función gamma

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En matemáticas, la función gamma es una función que extiende el concepto de factorial a los números complejos. La notación fue ideada por Adrien-Marie Legendre. Si la parte real del número complejo z es positivo, entonces la integral

$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$

converge absolutamente. Mediante la integración por partes, se puede mostrar que

$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\,.$

Como Γ(1) = 1, esta relación implica que

$\Gamma(n+1) = n!\,$

También de la misma relación se sigue que

$\lim_{z\to 0^+}\Gamma(z)=\lim_{z\to 0^+}\frac{\Gamma(z+1)}{z}=\infty$ .

A través de la relación

$\Gamma(1-z)\Gamma(z)=\frac{\pi}{\sin\pi z}$ ,

válida para todo $z\notin\mathbb{Z}$ , se puede hacer una extensión analítica de $Γ(z)$ a todo el plano complejo.

La siguiente forma de definir la función gamma es válida para todos los número complejos excepto para los enteros no positivos:

$\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}$

Una forma alternativa de definir la función gamma es:

$\Gamma(z) = \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n! n^z}{\prod^{n}_{k=0}(z+k)}$

El valor mas conocido, para un número no entero, de la función gamma es:

$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$