Función de Ackermann
Keywords: Función de Ackermann, Compilador, Cota superior asintótica, Función recursiva, Números naturales, Recursividad, Recursión primitiva, Teoría de la computación, Wilhelm Ackermann
La función de Ackermann, utilizada en la teoría de la computación, es una función recursiva que toma dos números naturales como argumentos y devuelve un número natural.
| Tabla de contenidos |
Definición
La función de Ackermann se define por recursividad como sigue:
Recursiva, pero no recursiva primitiva
Esta función crece extremadamente rápido A(4,2) ya tiene 19.729 dígitos. Este crecimiento desmesurado se puede explotar para demostrar que la función computable f(n) = A(n, n) crece más rápido que cualquier función recursiva primitiva, y por ello no es recursiva primitiva.
Tabla de Valores
| m\n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | n |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | n + 1 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | n + 2 |
| 2 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 2n + 3 |
| 3 | 5 | 13 | 29 | 61 | 125 | 8×2n − 3 |
| 4 | 13 | 65533 | 265536-3 | A(3,265536-3) | A(3,A(4,3)) | 22...2 − 3 (n + 3 términos) |
| 5 | 65533 | A(4,65533) | A(4,A(5,1)) | A(4,A(5,2)) | A(4,A(5,3)) | |
| 6 | A(5,1) | A(5,A(5,1)) | A(5,A(6,1)) | A(5,A(6,2)) | A(5,A(6,3)) |
Para darse una idea de la magnitud de los valores que aparecen de la fila 4 en adelante, se puede destacar que por ejemplo, A(4, 2) es mayor que el número de partículas que forman el universo elevado a la potencia 200 y el resultado de A(5, 2) no se puede escribir dado que no cabría en el Universo físico. En general, por debajo de la fila 4, ya no es posible escribir todos los dígitos del resultado de la función.
Explicación intuitiva
La primera fila de la función de Ackerman contiene los enteros positivos, dado que que A(0, n)) consiste en sumar uno a n. El resto de las filas se pueden ver como indirecciones hacia la primera. En el caso de m = 1, se redirecciona hacia A(0, n + 1), sin embargo, la simplificación es algo complicada:
A(1, 2) = A(0, A(1,1))
= A(0, A(0, A(1,0)))
= A(0, A(0, 2))
= A(0, 3)
= 4
Se puede intentar con una caso algo más complicado— como A(4, 3); el primer valor que no cabe en el universo físico.
A(4, 3) = A(3, A(4, 2))
= A(3, A(3, A(4, 1)))
= A(3, A(3, A(3, A(4, 0))))
= A(3, A(3, A(3, A(3, 1))))
= A(3, A(3, A(3, A(2, A(3, 0)))))
= A(3, A(3, A(3, A(2, A(2, 1)))))
= A(3, A(3, A(3, A(2, A(1, A(2, 0))))))
= A(3, A(3, A(3, A(2, A(1, A(1, 1))))))
= A(3, A(3, A(3, A(2, A(1, A(0, A(1, 0)))))))
= A(3, A(3, A(3, A(2, A(1, A(0, A(0, 1)))))))
= A(3, A(3, A(3, A(2, A(1, A(0, 2))))))
= A(3, A(3, A(3, A(2, A(1, 3)))))
= A(3, A(3, A(3, A(2, A(0, A(1, 2))))))
= A(3, A(3, A(3, A(2, A(0, A(0, A(1, 1)))))))
= A(3, A(3, A(3, A(2, A(0, A(0, A(0, A(1, 0))))))))
= A(3, A(3, A(3, A(2, A(0, A(0, A(0, A(0, 1))))))))
= A(3, A(3, A(3, A(2, A(0, A(0, A(0, 2))))))
= A(3, A(3, A(3, A(2, A(0, A(0, 3)))))
= A(3, A(3, A(3, A(2, A(0, 4)))))
= A(3, A(3, A(3, A(2, 5))))
Para seguir calculando este valor, habría que encontrar que A(2, 5) vale 13, luego evaluar A(3, 13), que es 8179. Sin embargo, el valor de A(3, 8179) es comparable al número de átomos del Universo elevado a una potencia de más de 12. Ese número tendría que calcularse para hacer la llamada más externa a la función, pero ya no sería posible escribir los dígitos del resultado en el universo físico.
Todo esto por composición de la única operación aritmética que se utiliza, es decir, el incremento en uno de un valor (en el cálculo de A(0, n)).
Descripción explícita
Intuitivamente, la función de Ackermann define la generalización de la multiplicación por dos (sumas iteradas) y la exponenciación con base 2 (productos iterados) hasta la exponenciación iterada, la iteración de la exponenciación iterada, la iteración de la operación anterior, etc. Puede expresarse de forma concisa y no recursiva mediante la notación de flecha de Conway:
o los hiper operadores:
Historia
En 1928, Wilhelm Ackermann consideró una función A(m, n, p) de tres variables: m → n → p en la notación de Conway. Ackermann demostró que se trata de una función recursiva que no es primitiva recursiva. Esa definición fue simplificada por Rozsa Peter y Raphael Robinson en la versión de dos variables dada al principio.
Análisis de algoritmos
Así como la función diagonal f (n) = A(n, n) crece muy rápidamente, su inversa crece muy lentamente y se utiliza frecuentemente en análisis de algoritmos. En ese contexto, se suele redefinir la función de Ackermann por otra de comportamiento asintótico similar, pero evitando los términos −3, o partiendo de la potencias de 2 para la fila 0 (lo que equivale a omitir las tres primeras filas). Si bien el resultado de estas variantes no es idéntico al de la función original, se pueden ver como similares al ser posible acotar la diferencia. En el caso de la inversa de la función diagonal, su resultado es inferior a 4 para entradas de prácticamente cualquier tamaño, de manera que se asimila a una función constante.
Medida de comparación
Debido a su definición, profundamente recursiva, la función de Ackermann se utiliza con frecuencia para comparar compiladores en cuanto a su habilidad para optimizar la recursión. Por ejemplo, un compilador capaz de notar que A(3, 30) se puede calcular en base a potencias de 2, o que guarda resultados intermediarios tales como A(3, n) y A(2, n) en lugar de recalcularlos cada vez, ahorraría tiempo de ejecución por un factor de 100 o 1000. Igualmente, al calcular directamente A(1, n) en lugar de hacer una llamada recursiva se realizan ahorros significativos.
Es posible calcular el término A(4, 2) pero no recursivamente, sino por otros medios.
Enlaces externos
- Some values of the Ackermann function.
- Example use of the Ackermann function as a benchmark.
- La expansión decimal de A(4,2)