Fracción continua

Keywords: Fracción continua, Entero, Límite matemático, Matemáticas

En matemáticas, una fracción continua es una expresión como :

$x = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3+\,\cdots}}}$

donde a₀ es algún entero y todos los demás números a_n son enteros positivos. Expresiones mas largas se definen de manera análoga. Si permitimos que el numerador sea distinto de la unidad, la expresión resultante es una fracción continua generalizada.

Notación

Se puede expresar las fracciones continuas como

$x = [a_0; a_1, a_2, a_3] \;$

o en la notación de Pringsheim

$x = a_0 + \frac{1 \mid}{\mid a_1} + \frac{1 \mid}{\mid a_2} + \frac{1 \mid}{\mid a_3}$

o esta otra notación similar a la anterior

$x = a_0 + {1 \over a_1 + } {1 \over a_2 +} {1 \over a_3 +}$

Se pueden definir las fracciones continuas infinitas como un límite:

$[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ] = \lim_{n \to \infty} [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \,\ldots, a_{n}]$

Este límite existe para cualquier elección de enteros positivos a₁, a₂, a₃ ...

Referencias

A. Ya. Khinchin; Continued Fractions; University of Chicago Press.