Formulación matemática de la mecánica cuántica

Keywords: Formulación matemática de la mecánica cuántica, Autovalor, Autovector, Base (álgebra), Desviación típica, Determinante, Ecuación de Schrödinger, Espacio complejo de Hilbert

La formulación matemática rigurosa de la mecánica cuántica fue desarrollada por Paul Adrien Maurice Dirac y John von Neumann.

Los postulados fundamentales son los siguientes:
Sea un observable A

Tabla de contenidos

1 Postulado I

2 Postulado II

3 Postulado III

4 Principio de incertidumbre de Heisenberg

Postulado I

Todo estado cuántico está representado por un vector normal, llamado vector de estado, en un espacio complejo de Hilbert. Se lo representa de las siguientes formas.

Forma ket: $| \psi \rangle = {a_1 \choose a_2}$

Forma bra: $\langle \psi| = (a_1^*\ a_2^*)$ (Donde el asterisco significa conjugado).

El estado cuántico normalizado debe cumplir: $\|\psi\|^2=\langle\psi|\psi\rangle=1$

Más información en: Notación bra-ket

Postulado II

Los observables de un sistema están representados por operadores lineales hermíticos (autoadjuntos). El conjunto de autovalores (valores propios) de A recibe el nombre de espectro y sus autovectores (vectores propios) definen una base en el espacio de Hilbert.

Los autovalores se encuentran igualando a cero el siguiente determinante: $|A - \lambda_i \mathbb{I}| =0$

Y los autovectores resolviendo el siguiente sistema de n ecuaciones: $A \cdot a_i = \lambda_i \cdot a_i \qquad \forall i=1,2, \ldots ,n$

Postulado III

Cuando un sistema está en el estado $|\psi\rangle$ , la medida de un observable A dará como resultado el valor propio a, con una probabilidad $P_{A| \psi \rangle} = |\langle a | \psi \rangle|^2$ , donde $|a\rangle$ es el vector propio que representa el observable A.

Como consecuencia de este postulado el valor esperado será: $\langle A \rangle_{|\psi \rangle} = \sum_{i} \lambda_i |\langle a_i | \psi \rangle|^2 = \langle \psi | A| \psi \rangle$

Llamaremos dispersión o incertidumbre a la raiz cuadrada de la varianza. Ésta se calcula así: $\Delta_{|\psi\rangle}A = \sqrt{\langle \psi | A^2| \psi \rangle - \langle \psi | A| \psi \rangle^2}$

Principio de incertidumbre de Heisenberg

El producto de las dispersiones de dos observables sobre el mismo estado está acotado.

$\Delta A \Delta B \ge \frac{1}{2} \langle \psi | [A,B]| \psi \rangle$

Para el caso de los observables típicos de posición (X) y momento (P_x) tenemos:

$\Delta X \Delta P_x \ge \frac{\hbar}{2}$

Esto es porque las variables X y P_x son canónicas conjugadas, es decir que el conmutador $[X,P_x]=i \hbar$

Más información en: Principio de incertidumbre de Heisenberg

Postulado IV

Para cualquier estado $|\psi\rangle$ sobre el cual se hace una medida de A que filtra al estado $|a_i\rangle$ , pasa a encontrarse precisamente en ese estado $|a_i\rangle$ , si no se ha destruido durante el proceso.

Éste es el postulado más conflictivo de la mecánica cuántica ya que supone el colapso instantaneo de nuestro conocimiento sobre el sistema al hacer una medida filtrante.

Postulado V

La evolución temporal de un sistema se rige por la ecuación de Schrödinger:

$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = \mathcal{H} |\psi(t)\rangle$

donde H es el operador de Hamilton o hamiltoniano del sistema, que corresponde a la energía del sistema.

Postulado VI

Los operadores de posición y momento satisfacen las siguientes reglas de conmutación:

$[X_i,X_j]=0 \qquad [P_i,P_j]=0 \qquad [X_i,P_j]=i\hbar \delta_{ij}\mathbb{I}$

Nomenclatura usada

$|\psi \rangle \rightarrow$ Estado cuántico
$A \rightarrow$ Observable
$\lambda_i \rightarrow$ Autovalor
$a_i \rightarrow$ Autovector
$\mathbb{I} \rightarrow$ Matriz identidad
$\hbar = h/{2\pi} = 1.05459 \cdot 10^{-34} \rightarrow$ Constante h-barra de Dirac
$[A,B] = AB - BA \rightarrow$ Conmutador

Véase también:

Mecánica cuántica

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