Forma diferencial
Keywords: Forma diferencial, Cohomología de de Rham, Derivada exterior, Espacio dual, Espacio vectorial, Fibrado cotangente, Geometría diferencial, Producto exterior, Tensor
En geometría diferencial, una forma diferencial de grado k es una sección diferenciable de la k-ésima potencia exterior del fibrado cotangente de la variedad. En cualquier punto p en una variedad, una k-forma da una función multilineal desde la potencia cartesiana k-ésima del espacio tangente en p a R.
Por ejemplo, el diferencial de una función diferenciable en una variedad (una 0-forma) es una 1-forma. El de 1-forma (forma de Pfaff) es un concepto básico particularmente útil en el tratamiento libre de coordenadas de los tensores. En este contexto, pueden ser definidas como funciones lineales a valores reales de vectores, y pueden ser considerados como generando el espacio dual con respecto al espacio vectorial de los vectores que se definen encima. Un viejo nombre para 1-formas en este contexto es de "vectores covariantes".
integración de las formas
Las formas diferenciales de grado k se integran sobre cadenas k dimensionales. Si k = 0, esto es simplemente la evaluación de funciones en los puntos. Otros valores de k = 1, 2, 3... corresponden a las integrales de línea, a las integrales superficiales, a las integrales de volumen, etc. Vea también teorema de Stokes.
operaciones en formas
El conjunto de todas las k-formas en un variedad son un espacio vectorial. Además, hay dos otras operaciones: cuña y derivada exterior. d2 = 0, ver cohomología de de Rham para más detalles.
La relación fundamental entre la derivada exterior y la integración viene dada por el teorema de Stokes generalizado, que también proporciona la dualidad entre la cohomología de de Rham y la homología de cadenas.