Función exponencial

Keywords: Función exponencial, Cuerpo, Ecuación diferencial, Función recíproca, Identidad de Euler, Logaritmo, Número e, Números complejos

La función exponencial es la recíproca de la función logaritmo natural. Con esa definición, su dominio es R, pero se puede ampliar al cuerpo de los complejos.

Esta función se nota exp: R → R^+*

                   x → e^x = exp(x)

Donde e es la base de los logaritmos naturales.

y = exp x <=> x = ln y (con y >0)

imagen:Exponencial_gráfico.png

La tangente en x = 1, T₁, pasa por el origen. La tangente en x = 0, T₀, pasa por el punto (-1, 0).

Propiedades

Todas sus propiedades provienen de las propiedades del logaritmo.
Llamamos (función) exponencial la función definida sobre los reales por x →e^x.

La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.

La exponencial transforma una suma en un producto:

$exp^{a+b} = exp^a \cdot exp^b$ , o sea $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$

$exp^{-a} = {1 \over exp^{a}}$

$exp^{a - b} = {exp^{a} \over exp^{b}}$

su límite en - ∞ es 0, y en + ∞ es + ∞

La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, y verifica la sorprendente relación:

$e^{i \cdot t} = cos t + i \cdot sin t$ .

Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler, conocida también como la fórmula más importante del mundo. Más generalmente:

$e^{a+bi} = e^{a}\cdot(cos b + i sin b)$