Espacio vectorial

Keywords: Espacio vectorial, Anillo, Anillo (matemáticas), Cuerpo (matemáticas), Grupo, Vector

Hay dos maneras de presentar los espacios vectoriales (E.V). La primera es práctica, detallada y elemental, se hace listando todas las propiedades de los vectores, y la segunda es teórica, conceptual, elaborada y sintética, pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos).

I presentación práctica

Un conjunto V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, si dadas dos operaciones: suma vectorial definida en V, se denota v + w para todo v,w de V, y producto escalar en V, se denota a * v para todo v de V y a de K, si cumple las siguientes 10 propiedades (5 propiedades para la suma y 5 para el producto escalar) para todo a, b de K y u, v y w de V:

Para la Suma

1. v + w pertenece a V.
   La suma vectorial es una operación cerrada en V.
2. u + (v + w) = (u + v) + w.
   Asociatividad de la suma vectorial en V.
3. Existe un elemento 0 en V tal que para todo v de V, v + 0 = v.
   Existencia del elemento neutro de la suma vectorial en V.
4. Para todo v de V, existe un elemento -v en V, tal que v + (-v) = 0.
   Existencia del elemento opuesto respecto a la suma vectorial en V.
5. v + w = w + v.
   Conmutatividad de la suma vectorial en V.

Para el Producto Escalar

1. a*v pertence a V.
   El producto escalar es una operación cerrada en V.
2. a*(b*v) = (a*b)*v.
   Asociatividad del producto escalar en V.
3. Si 1 denota el elemento neutro de la multiplicación del campo escalar K, entonces 1*v = v.
   Neutralidad del uno del campo escalar.
4. a*(v + w)=a*v + a*w.
   Distributividad con respecto a la suma vectorial.
5. (a + b)*v = a*v + b*v.
   Distributividad con respecto a la suma escalar.

Las propiedades de la 1 a la 5 indican que V es conmutativo o Abeliano bajo la suma vectorial.

De las propiedades anteriores, se puede probar inmediatamente las siguientes formulas utiles:

a*0 = 0*v = 0

-(a*v) = (-a)*v = a*(-v)

para todo a de K y v de V.

Los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores. El concepto de vector en un espacio vectorial es completamente abstracto como los conceptos de Grupo, Anillo, y Campo Escalar. Para determinar si un conjunto V es un espacio vectorial se debe especificar el conjunto V, el campo escalar K y definir la suma vectorial y el producto escalar en V. Entonces si V satisface las 10 propiedades anteriores, es un espacio vectorial sobre el cuerpo K. (pendiente...)

II Presentación teórica

Sea V un grupo abeliano ( o sea conmutativo) provisto de la operación (o ley, para abreviar) +. Entonces el conjunto de los endomorfismos de V ( escrito End V), o sea de las aplicaciones lineales de V (lineal en el sentido que respeta la ley +) forma un anillo (V, +, o), donde o es la ley de la composición de las aplicaciones. Por otra parte, el cuerpo K , con sus leyes + y . también es un anillo.

Para cualquier a en K, se llama homotecia de razón a el morfismo de V x → ax (esto es a.x, o a*x), que se nota h_a. ( como morfismo, es una aplicación de V hacia V, lo que implica la propiedad 6)

Definición: Se dice que V es un espacio vectorial sobre K si y sólo si

(K, + , . ) ____f____-> ( End V, +,o)

     a ________->  ha             es un morfismo de anillos.
 

• El hecho que ( V, + ) sea un grupo abeliano resume las propiedades 1, 2, 3, 4 y 5, puesto que en grupo, la operación es interna (1), asociativa (2), tiene neutro (3) y elemento opuesto para cada vector (4),y si el grupo es abeliano, la ley es conmutativa (5).

• El que h_a sea lineal da la propiedad 9, porque h_a(v + w) = h_a(v) + h_a(w) o sea a(v + w) = av + aw.

El que f sea un morfismo de anillos significa que

• f(a + b) = f(a) + f(b), es decir que h_{a + b} = h_a + h_b o sea (a+b)v = av + bv (propiedad 10)
• f(ab) = f(a)o f(b), es decir h_ab = h_ao h_b, o sea (a.b)(x)= a.(b.x) (propiedad 7)
• f(1) = id,o sea h₁ = id, donde 1 es el neutro de (K, .) y id es la identidad, es decir la aplicación x → x de V. La identidad es obviamente el neutro de End V. Esto se escribe 1.v = v para cuaquier vector v. (propiedad 8 )

Se podría añadir f(0) = 0 , la aplicación nula de V, pero es una consecuencia del tercer punto.

El último punto ( f(1)= id ) equivale a afirmar que f no es la aplicación nula.

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