Espacio métrico

Keywords: Espacio métrico, Conjunto, Desigualdad triangular, Distancia, Distancia de Hausdorff, Espacio Euclídeo, Espacio de Banach, Espacio topológico, Función continua

Tabla de contenidos

1 Principio

2 Definición Formal

3 Otras Definiciones

4 Sistemas axiomáticos alternativos

5 Ejemplos

6 Un análisis lógico

7 Ver tambien

Principio

En matemática, un espacio métrico es un tipo particular de espacio topológico,donde una distancia entre puntos está definida, corresponde al caso muy común en que se dispone de una noción de distancia sobre el espacio.

Definición Formal

Formalmente, un espacio métrico es un conjunto de puntos $M$ con una función distancia asociada (tambien llamada una métrica) $d:M\times M\rightarrow\mathbb R$ (donde R es el conjunto de los números reales). Para todo x, y, z en M, esta función debe satisfacer las siguientes condiciones:

d(x, y) ≥ 0
d(x, x) = 0 (reflexividad)
si d(x, y) = 0 entonces x = y (identidad de los indiscernibles)
d(x, y) = d(y, x) (simetría)
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desigualdad triangular).

Otras Definiciones

Se llama bola (abierta) centrada en $a\in M$ y de radio $r\in\mathbb R^+$ , el conjunto $\{x\in M/d(x,a)<r\}\subset M$ . Se lo nota usualmente $B (a, r)$ .
Se llama bola cerrada centrada en $a\in M$ y de radio $r\in\mathbb R^+$ , el conjunto $\{x\in M/d(x,a)\leq r\}\subset M$ . Se lo nota usualmente $B c (a, r)$ .

La distancia dota a $M$ de una topología, definiendo una parte $U$ como abierta cuando: $\forall u\in U,\exists\varepsilon>0/B(u,\varepsilon)\subset U$ . Un abierto es entonces una parte que tiene un cierto "espesor" alrededor de sus puntos.

Sistemas axiomáticos alternativos

la propiedad 1 (d(x, y) ≥ 0) se sigue de la 4 y la 5. Algunos autores usan la recta real extendida y admiten que la distancia tome el valor ∞. Cualquier métrica tal puede ser reescalada a una métrica finita (usando d'(x, y) = d(x, y) / (1 + d(x, y)) o d''(x, y) = min(1, d(x, y))) y los dos conceptos de espacio métrico son equivalentes en lo que a topología se refiere. Una métrica es llamada ultramétrica si satisface la siguiente versión, más fuerte, de la desigualdad triangular.

$\forall x,y,z\in M, d(x,z) \leq max(d(x,y),d(y, z))$ .

Si se elimina la propiedad 3, se obtiene un espacio pseudométrico. Sacando, en cambio, la propiedad 4, se obtiene un espacio quasimétrico. No obstante, perdiéndose simetría en este caso, se cambia, usualmente, la propiedad 3 tal que ambas d(x,y)=0 y d(y,x)=0 son necesarias para que x y y se identifiquen. Todas las combinaciones de lo anterior son posibles y referidas por sus nomenclaturas respectivas (por ejemplo como quasi-pseudo-ultramétrico).

Ejemplos

La distancia trivial: d(x,y) = 0 si x = y, caso contrario, 1.
Los números reales con la función distancia d(x, y) = |y - x| dada por el valor absoluto, y más generalmente n-espacio euclídeo con la distancia euclídea, son espacios métricos completos.
Más generalmente aun, cualquier espacio vectorial normado es un espacio métrico definiendo d(x, y) = ||y - x||. Si tal espacio es completo, lo llamamos espacio de Banach.
Si X es un conjunto y M es un espacio métrico, entonces el conjunto de todas las funciones acotadas f : X -> M (i.e. aquellas funciones cuya imagen es un subconjunto acotado de M) puede ser convertido en un espacio métrico definiendo d(f, g) = sup_{x en X} d(f(x), g(x)) para cualesquiera funciones acotadas f y g. Si M es completo, entonces este espacio es completo tambien.
Si X es un espacio topológico y M es un espacio métrico, entonces el conjunto de todas las funciones continuas acotadas de X a M forma un espacio métrico si definimos la métrica como antes: d(f, g) = sup_{x en X} d(f(x), g(x)) para cualesquiera funciones continuas acotadas f y g. Si M es completo, entonces este espacio es completo tambien.

Si M es un espacio métrico, podemos convertir al conjunto K(M) de todos los subconjuntos compactos de M en un espacio métrico definiendo distancia de Hausdorff d(X, Y) = inf{r: para cada x en X existe un y en Y con d(x, y) < r y para cada y en Y existe un x en X con d(x, y) < r). En este métrica, dos elementos estan cerca uno de otro si cada elemento de un conjunto está cerca de un cierto elemento del otro conjunto. Se puede demostrar que K(M) es completo si M es completo.

Un análisis lógico

El concepto métrico fundamental es el de función corta, los morfismos de la categoría métrica (los isomorfismos, i.e. bi cortas, son las isometrías), pero su expresión usual usa el orden y la suma en los reales positivos luego,
1) Es obvio que : | x - |x - y | | = y es lo mismo que x = 0 o y ≤ x, luego distancia en los reales positivos da orden débil allí, orden fuerte (y ≤ x ssi ... ) es difícil, pero posible, si se acepta una solución de |x - y | = y i.e. y = x / 2.
2) | d(y, z) - |d(y, z) - d´(f(y), f(z)) | | = d´(f(y), f(z)) expresa que f es una función corta, sin ninguna referencia a un orden en los reales positivos.
3) La siguiente equivalencia de la desigualdad triangular

| d(x, y) - d(x, z) | ≤ d(y, z)

expresa (sin ninguna referencia a una operación en los reales positivos, |x - y| es la distancia allí) el hecho que d(x, -) es función corta (luego uniforme, luego continua). d: x - > d(x,-) es una isometría.

Reuniendo ambas : | d(y, z) - |d(y, z) - | d(x, y) - d(x, z) | | | = | d(x, y) - d(x, z) | expresa desigualdad triangular directamente.
un leve cambio : | d(y, z) - |d(z, y) - | d(x, y) - d(x, z) | | | = | d(x, y) - d(x, z) | expresa desigualdad triangular y simetría (hacer z = x y usar | x - d(y, y)| = x).

Ver tambien

topología
desigualdad triangular
Lipschitz continua
isometría, contracción y función corta
Categoría de los espacios métricos

Keywords: Espacio métrico, Conjunto, Desigualdad triangular, Distancia, Distancia de Hausdorff, Espacio Euclídeo, Espacio de Banach, Espacio topológico, Función continua