Número entero

Keywords: Número entero, Adición, Anillo, Axioma, Cuaterniones, Infinito, Lista de números, Matemáticas

Sistema numérico en matemáticas.
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Naturales {0,1,2,3...} Primos {1,3,5,7,11...} Abundantes Amigos Compuestos Defectivos Perfectos Sociables Enteros {...-2,-1,0,+1,+2,...} Pares {...-2,0,+2,..} Impares {...-3,-1,+1,+3...} Racionales {...-1/2..0..1/2..1...} Reales {Q U I U Tr} Irracionales Algebraicos Trascendentes Tr Pi(π)≈ 3.1415926535... Número e≈ 2.7182818284... Complejos Unidad imaginaria Infinito ∞ Números infinitos Números transfinitos
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Los números enteros son subconjunto de los números racionales (los quebrados). Esto se nota como: ℤ ⊆ ℚ.

Los números enteros pueden ser sumados y restados, multiplicados y comparados. La razón principal para introducir los números negativos sobre los números naturales es la posibilidad de resolver ecuaciones del tipo:

a + x = b

para la incognita x.

Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación, (ℤ,+,·) constituye un anillo conmutativo y unitario.

Por otro lado ℤ es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior.

El conjunto de los números enteros se representa mediante ℤ (una Z con la linea diagonal doble). El origen del uso de ℤ viene del aleman Zahlen, numero.

Los números enteros cumplen los siguientes axiomas, para todo a, b, c ∈ ℤ:

Tabla de contenidos

1 Axioma 1. Operaciones internas 2 Axioma 2. Propiedades asociativas 3 Axioma 3. Propiedades conmutativas 4 Axioma 4. Elementos neutros 5 Axioma 5. Existencia de opuestos 6 Axioma 6. Propiedad cancelativa 7 Axioma 7. Propiedad distributiva 8 Axioma 8. Propiedad reflexiva 9 Axioma 9. Propiedad antisimétrica 10 Axioma 10. Propiedad transitiva 11 Axioma 11. Propiedad de la buena ordenación 12 Axioma 12

Axioma 1. Operaciones internas

• a+b ∈ ℤ.
• a·b ∈ ℤ.

Axioma 2. Propiedades asociativas

• (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c.
• (a·b)*c = a·(b·c) = a·b·c < c+d+a = a+b+c.

Axioma 3. Propiedades conmutativas

• a+b = b+a.
• a·b = b·a.

Axioma 4. Elementos neutros

• Existe 0 ∈ ℤ tal que a+0 = 0+a = a. Para todo a ∈ ℤ.
• Existe 1 ∈ ℤ tal que a·1 = 1·a = a. Para todo a ∈ ℤ.

Axioma 5. Existencia de opuestos

• Existe -a tal que a+(-a) = (-a)+a = 0.

Axioma 6. Propiedad cancelativa

• a·b = a·c y a ≠ 0 ⇨ b = c.

Axioma 7. Propiedad distributiva

• a·(b+c) = a·b+a·c.

Axioma 8. Propiedad reflexiva

• a ≤ a.

Axioma 9. Propiedad antisimétrica

• a ≤ b y b ≤ a ⇨ a = b.

Axioma 10. Propiedad transitiva

• a < b y b < c ⇨ a < c.

Axioma 11. Propiedad de la buena ordenación

• Sea S un subconjunto no vacio de ℤ, acotado inferiormente, entonces S tiene primer elemento.

Axioma 12

• c ≥ 0 y a ≤ b ⇨ a·c ≤ b·c
• a ≤ b ⇨ a+c ≤ b+c para todo c ∈ ℤ.

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