Ecuación diferencial

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Una ecuación diferencial, es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones respecto de una o más incógnitas.

Según el número de derivadas, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Ejemplos:

y´= 2xy+1 es una ecuación diferencial ordinaria, donde y=f(x) es la variable dependiente, x la variable independiente e $y'=\frac{dy}{dx}$ es la derivada de y con respecto a x
La expresión $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial v}=0$ es una ecuación en derivadas parciales

Se llama orden de la ecuación al de la derivada más alta. Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma: $a_n(x)y^n + a_{n-1}(x) y^{n-1} + \dots + a_1(x)y' +a_0(x)y=g(x)$ , es decir:

Ni función y ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno
En cada coeficiente que aparece multiplicándolas, sólo interviene la variable independiente.

Ejemplos:

y´= y es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones y = f(x) = k·e^x, con k un número real cualquiera.
y´´ = y es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones y = f(x) = a·cos x + b·sin x, con a y b reales.

Ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todos los ramos de la ingeniería para el modelamiento de fenómenos físicos. Por ejemplo, en dinámica, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es

$M x''(t) + C x'(t) + K x (t) = P (t)$

Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz que describe la rigidez de la estructura, x es el desplazamiento de la estructura, P es el vector de fuerzas, y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo grado debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.

Ver también

Función diferenciable

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