Ecuaciones de Maxwell

Keywords: Ecuaciones de Maxwell, 1865, 1873, 1884, André-Marie Ampère, Campo electromagnético, Carl Friedrich Gauss, Charles-Augustin de Coulomb, Electromagnetismo

Las ecuaciones de Maxwell son las ecuaciones que describen los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético. De las ecuaciones de Maxwell se desprende la existencia de ondas electromagnéticas propagándose con velocidad c:

$c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}$

El valor numérico de esta cantidad coincide con el valor de la velocidad de la luz en el vacío, con lo cual Maxwell identificó la luz con una onda electromagnética, unificando la óptica con el electromagnetismo.

Tabla de contenidos

1 Desarrollo histórico de las ecuaciones de Maxwell

2 Formulación moderna de las ecuaciones de Maxwell (SI)

3 Ecuaciones de Maxwell en el sistema CGS

4 Las ecuaciones de Maxwell en la Relatividad General

Desarrollo histórico de las ecuaciones de Maxwell

La formulación moderna de las ecuaciones de Maxwell es debida a Oliver Heaviside y Willard Willard Gibbs quienes en 1884 reformularon las ecuaciones originales de Maxwell en un sistema abreviado utilizando una notación vectorial. La formulación original de Maxwell databa de 1865 y contenía 20 ecuaciones de 20 variables. En 1873 Maxwell intento una formulación simplificada que finalmente no resultó popular. La formulación vectorial resultaba especialmente atractiva porque remarcaba las simetrías intrínsecas en las ecuaciones haciendo más fácil su utilización e inspirando aplicaciones posteriores.

Formulación moderna de las ecuaciones de Maxwell (SI)

Las ecuaciones de Maxwell, en el sistema internacional (y para el vacío) son:

Ley de Gauss: $\nabla \cdot \vec E =\frac{\rho}{\varepsilon_0}$
Ley de Faraday: $\nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}$
Ley de Gauss para el campo magnético: $\nabla \cdot \vec B = 0$
Ley de Ampère-Maxwell: $\nabla \times \vec B = \mu_0\vec{J} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t}$

donde $ρ$ y $\vec J$ corresponden a la carga y densidad de corriente totales.

Las ecuaciones de Maxwell son escritas a menudo en la forma correspondiente a medios materiales:

Ley de Gauss: $\nabla \cdot \vec D =\rho$
Ley de Faraday: $\nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}$
Ley de Gauss para el campo magnético: $\nabla \cdot \vec B = 0$
Ley de Ampère-Maxwell: $\nabla \times \vec H = \vec{J} + \frac{\partial \vec D}{\partial t}$

donde ahora $ρ$ y $\vec J$ corresponden a la carga y densidad de corriente libres, $\vec D$ representa el vector desplazamiento eléctrico y $\vec H$ el campo magnético. Esta versión de las ecuaciones es equivalente a la del vacío, pero para ser completas, deben ser suplementadas con relaciones constitutivas, propias de cada medio material:

$\vec D = \vec D(\vec E, \vec B)$
$\vec H = \vec H(\vec E, \vec B)$
$\vec J = \vec J(\vec E, \vec B)$

Ecuaciones de Maxwell en el sistema CGS

A veces se utilizan en otro sistema de unidades (Gaussianas o CGS), que a pesar de estar desaconsejado, es muy utilizado en países anglosajones:

$\nabla \cdot \vec E = 4 \pi \rho$
$\nabla \cdot \vec B = 0$
$\nabla \times \vec E = -\frac 1c \frac{\partial \vec B}{\partial t}$
$\nabla \times \vec B = \frac 1c \frac{\partial \vec E}{\partial t} + \frac {4\pi}c \vec J$

Las ecuaciones de Maxwell en la Relatividad General

Keywords: Ecuaciones de Maxwell, 1865, 1873, 1884, André-Marie Ampère, Campo electromagnético, Carl Friedrich Gauss, Charles-Augustin de Coulomb, Electromagnetismo