Ecuación de cuarto grado

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Caso general

Una ecuación de cuarto grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

$ax^4 + bx^3 + {cx^2}^{} + dx + e = 0 \qquad \forall a \ne 0$

donde a, b,c, d y e (siendo $a \ne 0$ ) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a los reales $\mathbb{R}$ o los complejos $\mathbb{C}$ . Sea K un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas (y por lo tanto también de cuarto orden, pues equivale a extraer raíces caudradas dos veces seguidas). En este cuerpo, es posible factorizar por todo a, y la identidad siguiente es válida:

(a - b)⁴ = a⁴ - 4a³b + 6a²b² - 4ab³ + b⁴.

En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 4 tiene cuatro raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.

El método sigiente permite obtener las cuatro raíces al mismo tiempo, eso sí, depués de un largo cálculo.

Los pasos de la resolución son:

Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a. Se obtiene:

x⁴ + b'x³ + c'x² + d'x + e' = 0 , con b' = b/a, c' = c/a, d' = d/a y e' = e/a

Proceder al cambio de incógnita z = x + b'/4, para suprimir el término cúbico. En efecto, al desarollar (z - b'/4)⁴ con la identidad precedente, vemos aparecer el término -b'z³, compensado exactamente por b'z³ que aparece en b'(z - b'/4)³. Se obtiene:

z⁴ + pz² + qz + r = 0, con p, q y r números del cuerpo.

Y ahora, la idea genial: factorizar lo anterior en (z² + αz + β )( z² - αz + γ), lo que es posible porque no hay z³ en el polinomio.

Desarrollando la expresión e identificando los dos polinomios, obtenemos las condiciones:

β + γ - α² = p (coeficiente de x²)

α( γ - β ) = q (coeficiente en x)

βγ = r (término constante)

Después de algunos cálculos, hallamos :

α⁶ + 2pα⁴ + (p² - 4r)α² - q² = 0 Es una ecuación del sexto grado, pero si miramos bien, α sólo aparece con potencias pares.

Pongamos A = α². Entonces:

A³ + 2pA² + (p - 4r)A - q² = 0, lo que se sabe resolver porque es una ecuación de tercer grado.

Luego se encuentra α, β y γ, y se resuelven z² + αz + β= 0 y z² - αz + γ = 0, y para rematar, no se olvide que x = z - b'/4.

Ecuaciones bicuadradas

Éstas son un caso particular de las anteriores. Les faltan los términos a la tercera y a la primera potencia. Su forma canónica es:

$ax^4 + {bx^2}^{} + c = 0$

Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el cambio de variable ${x^2}^{}=y$
Con lo que nos queda: ${ay^2}^{} + by + c = 0$ El resultado resulta ser una ecuación de segundo grado que podemos resolver usando la fórmula:

$y= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Ahora bien, esto no nos da las cuatro soluciones esperadas. Aún hemos de deshacer el cambio de variable. Así las cuatro soluciones serán:

$x_1 = +\sqrt{y_1}$

$x_2 = -\sqrt{y_1}$

$x_3 = +\sqrt{y_2}$

$x_4 = -\sqrt{y_2}$

Véase también:

Ecuación

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