Ecuación de segundo grado

Keywords: Ecuación de segundo grado, Conmutatividad, Cuerpo, Ecuación, Número complejo, Número real, Polinomio

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

$a x^2 + b x + c = 0 \,$

donde a, b y c, con a ≠ 0, son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a C.

El caso general

Sea K un cuerpo conmutativo, donde se puede extraer raíces cuadradas.

En este cuerpo, es posible factorizar por a (con a ≠ 0), y las siguientes identidades son válidas:

$(a - b) (a + b) = a^2 - b^2 \,$

$(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,$

Para resolver la ecuación $a x^2 + b x + c = 0 \,$ , es preciso factorizarla en dos binomios de primer grado:

$a x^2 + b x + c = a \left ( x^2 + \frac {b} {a} x + \frac {c} {a} \right ) = a \left ( \left ( x + \frac {b} {2 a} \right )^2 - \frac {b^2 - 4 a c} {4 a^2} \right ) \quad (1)$

Sea $\Delta = b^2 - 4 a c \,$ y $d^2 = \Delta \,$ . Entonces:

$(1) = a \left ( \left ( x + \frac {b} {2 a} \right )^2 - \frac {\Delta} {4 a^2} \right ) = a \left ( \left ( x + \frac {b} {2 a} \right )^2 - \frac {d^2} {4 a^2} \right ) = a \left ( x + \frac {b - d} {2 a} \right ) \left ( x + \frac {b + d} {2 a} \right )$

Primero se factoriza por a, lo que es posible porque a tiene un inverso, luego se introduce un término que completa los dos primeros en un cuadrado, que aparece en (1).

El número d es una de las dos raíces del discriminante $\Delta = b^2 - 4 a c \,$ . Se utiliza la primera identidad anunciada, y se obtienen dos factores de primer grado. En un cuerpo, un producto es nulo si y sólo si uno de sus factores lo es (un cuerpo es un dominio íntegro), lo que da las soluciones:

$x_1 = \frac {-b - d} {2 a} \,$ y $x_2 = \frac {-b + d} {2 a} \,$

La igualdad: $a x^2 + b x + c = a(x - x_0)(x - x_1) \,$ da, al desarollar el segundo miembro e identificar los coeficientes:

$x_0 + x_1 = {-b \over a} \,$ y $x_0 x_1 = {c \over a} \,$

Recíprocamente, si conocemos la suma y el producto de dos números, podemos escribir la ecuación de segundo grado cuyas raíces son estos números:

$X^2 - S X + P = 0 \,$ , donde S = suma, P = producto, y se ha tomado a = 1

El caso real

Si a, b y c son números reales, el raciocinio anterior es por supuesto válido, pero es práctico distinguir dos casos, según el signo del discriminante $\Delta = b^2 - 4 a c \,$ :

Si $\Delta \ge 0 \,$ , entonces para d se puede tomar su raíz cuadrada, y las soluciones son:
$x = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4 a c}} {2 a}$

Si $\Delta < 0 \,$ , entonces ni Δ ni la ecuación tienen raíces reales. Es preciso emplear números complejos: para d se puede tomar la raíz cuadrada de -Δ, multiplicado por i (que verifica $i^2 = -1 \,$ ), pues:
$d^2 = \left (i \sqrt {-\Delta} \right )^2 = i^2 ( -\Delta ) = - ( - \Delta ) = \Delta$
y las soluciones son:
$x = \frac {-b \pm i \sqrt {4 a c - b^2}} {2 a}$

Según los signos de Δ y a; la curva de x → ax² + bx + c se posiciona así con relación a los ejes:

imagen:segundo_grado_curvas.png

Interpretación geométrica

Siglos antes de resolver algebráicamente la ecuación de segundo grado, se encontraron soluciones utilizando un método geométrico, interpretando los términos como áreas, y distiguiendo varios casos pues no se conocían los números negativos (y menos aún las áreas negativas).

El caso más común es: $x^2 + b x = c \,$ , con b y c positivos.

$x^2 \,$ es obviamente el área de un cuadrado de costado x, y bx la de un rectángulo de costados b y x.

Imagen:segundo_grado_figura1.png

Se parte este en dos, y se lo coloca alrededor del cuadrado, con el propósito de construir un cuadrado mayor.

Imagen:segundo_grado_figura2.png

Luego se añade un pequeño cuadrado de costado b/2, para completar el cuadrado.

Imagen:segundo_grado_figura3.png

Para conservar la igualdad, se debe hacer lo mismo con el área c.

El área del cuadrado es $c + \frac {b^2} {4} \,$ , por lo tanto su costado mide la raíz cuadrada de esta cantidad. Restándole $b \over 2 \,$ , obtenemos el valor de x (en las figuras, b = 4, y x = 3).

Este método no permite encontrar las soluciones negativas, y si son ambas positivas, sólo se obtiene la que lleva la raíz con el signo +.

Véase también: Ecuación Categoría:Álgebra