Dual de Hodge
Keywords: Dual de Hodge, Delta de Dirac, Espacio vectorial, Forma diferencial, Matemáticas, Matriz antisimétrica, Medida, Producto exterior, Salvo
En matemáticas, el operador estrella de Hodge en el espacio vectorial V es un operador lineal en el álgebra exterior de V, intercambiando los subespacios de k-vectores y el de n−k-vectores donde n = dim V, para 0 ≤ k ≤ n. En términos groseros se define repartiéndose la forma volumen ω, pensada como n vectores estándar de base acuñados juntos, de modo que
- α ∧ *α = ω
salvo signo, siempre que α es una cuña de algunos vectores estándar de base. Dada una medida sobre una variedad n dimensional expresable como una n-forma μ (no todas las medidas son de esta forma, por ejemplo, la "función" delta de Dirac), el dual de Hodge de la p-forma A se define como la contracción 
donde 
es el n-vector dual. Ver convención de signo.
Pero, en serio debemos poner
- α ∧ *β = <α | β>ω
con <α | β> el producto escalar de las formas y
- ω = ε √|g| dx1 ∧ dx2 ∧ ... ∧ dxn
con g el determinante de la métrica y ε = sgn(g). De aqui el molesto
- **α = (-1)k(n-k) ε α
en particular ε = 1 en Riemann; ε=-1 en Minkowski (n-1,1).
Un ejemplo común del operador estrella es el caso n = 3 (euclídeo) donde simplemente: **α = α y puede ser tomado como la correspondencia entre los vectores y las matrices antisimétricas 3x3.
El otro caso fundamental es **F = -F si F es una 2-forma en Minkowski (3,1) o (1,3) usual.