Dodecaedro

Keywords: Dodecaedro, Arista, Centro, Dado, Doce, Domo geodésico, Eje de simetría, Icosaedro, Juego de rol

Un dodecaedro es un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos regulares, forzosamente iguales entre sí, el dodecaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.

Dodecaedro regular
240px\|Dodecaedro
Grupo	Sólidos platónicos
Número de caras	12
Polígonos que forman las caras	Pentágonos regulares
Número de aristas	30
Número de vértices	20
Caras concurrentes en cada vértice	3
Vértices contenidos en cada cara	5
Grupo de simetría	Icosaédrico (I_h)
Poliedro conjugado	Icosaedro

Tabla de contenidos

1 Dodecaedro regular

1.1 Cálculo de dimensiones fundamentales
1.2 Volumen, área y desarrollo
1.3 Propiedades particulares

1.3.1 Simetría

1.4 Aplicaciones y ejemplos

Dodecaedro regular

Cálculo de dimensiones fundamentales

Radio Externo: $r_u=\frac{\sqrt{6}}{4} \sqrt{3 +\sqrt{5}} \cdot a \approx 1.401258538 \cdot a$
Radio Interno: $r_i=\frac{a}{4} \sqrt{ \frac{50+22\sqrt{5}}{5} } \approx 1.113516364 \cdot a$

Volumen, área y desarrollo

Dado un Dodecaedro regular de arista a, podemos calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula:

$V=\frac{1}{4} \left(15+7 \sqrt{5} \right)\cdot a^3$
(Aproximadamente 7,66·a³)

Y el área total de sus caras A (que es 12 veces el área de una de ellas, A_c), mediante:

$A=12 \cdot \frac{\sqrt{25+10 \sqrt{5}}}{4} \cdot a^2=3 \sqrt{25+10 \sqrt{5}} \cdot a^2$
(Aproximadamente 20,65·a²)

Propiedades particulares

Simetría

Un dodecaedro regular tiene seis ejes de simetría de orden cinco, las rectas que unen los centros de caras opuestas; quince ejes de simetría de orden dos, las rectas que unen los centros de aristas opuestas; quince planos de simetría, que contienen cada pareja de aristas opuestas coplanares; y un centro de simetría. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de simetría total de 120: 2x(6x5+15x2).

Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría icosaédricos, el denominado I_h según la notación de Schöenflies.

Aplicaciones y ejemplos

Imagen no existente
Dodekaeder-Animation.gif
Dodecaedro

Se utilizan dados en forma de dodecaedro en los juegos de rol, en los que se suelen simbolizar como "d12".

Por manera de subdividir cada cara del dodecaedro en triángulos se puede construir domos geodésicos.