Distribución de probabilidad

Keywords: Distribución de probabilidad, Carl Friedrich Gauss, Distribución Beta, Distribución Cauchy, Distribución Pareto, Distribución Poisson, Distribución binomial, Distribución exponencial, Distribución gamma

En estadística matemática la distribusión de probabilidad F(x) es una función de la probabilidad que representa los resultados que se van obteniendo en un experimento aleatorio.

Así para un número dado x, la probabilidad P( X \le x ) es:

F(x) = P( X \le x )

A F(x) se le denomina Función de Distribución de Probabilidad de la variable X y representa la probabilidad de que la variable tome el valor desde -\infty hasta x.

También se puede definir como la acumulada de la función de densidad de probabilidad, esta última más comunmente conocida como función de densidad

Para dos números reales cualesquiera a y b tal que (a < b), los sucesos ( X \le a ) y ( a < X \le b ) serán mutuamente excluyentes y su suma es el suceso ( X \le b ) por lo que tenemos entonces que:

P( X \le b ) = P( X \le a ) + P( a < X \le b )
P( a < X \le b ) = P( X \le b ) - P( X \le a )

y finalmente

P(a < X \le b ) = F(b) - F(a)

Por lo tanto una vez conocida la Función de Distribución F(x) para todos los valores de la variable aleatoria x conoceremos completamente la distribución de probabilidad de la variable.

Como la probabilidad es siempre un número positivo entonces la Función de Distribución será una función no decreciente que cumple lo siguiente:

F(\infty) = \lim_{n \to \infty} F(x) = 1

Es decir la probabilidad de todo el espacio muestral es 1 tal y como establece la teoria de la probabilidad y por otra parte:

F(-\infty) = \lim_{n \to \infty} F(x) = 0

Es decir la probabilidad del suceso nulo es cero.

Para realizar cálculos es más cómodo conocer las distribución de probabilidad, para ver una represetación gráfica de la probabilidad es más práctico el uso de la función de densidad.

Distribuciones de variable discreta

Se denomina variable discreta aquella que sólo puede tomar unos determinados valores, el conjunto de valores que toma X es finito o numerable. En este caso la Distribución de Probabilidad es el sumatorio de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:

F(x) = P( X \le x_i ) = \sum_{k=1}^i f(x_i)

Y tal como corresponde a la definición de Distribución de Probabilidad esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde -\infty hasta el valor xi

Las distribuciones de variable discreta más importantes son las siguientes:

Distribuciones de variable continua

Se denomina variable continua aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores existentes dentro de un intervalo finito. En el caso de variable continua la Distribución de Probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:

F(x) = P( X \le x_i ) = \int_{-\infty}^{x_i} f(x)\, dx

Las distribuciones de variable continua más importantes son las siguientes:

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