Función derivada

Keywords: Función derivada, Continuidad (matemáticas), Cálculo, Derivación numérica, División por cero, EDO, Ecuación de segundo grado, Función matemática

En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo. (El otro concepto es la antiderivada, el inverso de la derivada.)

La derivada de una función en un punto mide el coeficiente en cual el valor de la función cambia como la entrada de la función cambia. Es decir, que una derivada provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. Por fin, la derivada es un concepto de muchos usos que se puede ver en muchos aspectos. Por ejemplo, cuando refiere al gráfico de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como una secante. Con esta interpretación, no es sorprendente que se pueda usar las derivadas que determina muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tal como concavidad o convexidad.

Hay que notar que algunas funciones no tienen derivada. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical o una discontinuidad. Sin embargo, una función puede no tener una derivada aunque sea continua y no tenga ninguna tangente vertical.

Tabla de contenidos

1 Diferenciación

2 Notación

3 Diferenciabilidad

4 La cociente de diferencias de Newton

5 Anotaciones para diferenciación

6 Algunas Derivadas Notables

7 Ejemplo

Diferenciación

En terminología algo anticuada, diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad y cambia de consecuencia de un cambio en otra cantidad x con la que tiene una relación funcional. Cuando se usa el símbolo Δ para referir al cambio en una cantidad, define este coeficiente como un límite del cociente de la diferencia

$\Delta y \over \Delta x$

como Δx aproxima 0. En la notación de Leibniz, se escribe la derivada de y con respecto a x

$dy \over dx$

Esto sugiere la razón de dos cantidades infinitesimales.

En el lenguaje matemático contemporáneo, se refiere a cantidades dependientes y declara simplemente que la diferenciación es una operación matemática de funciones. La definición precisa (esta tambien refiere a cantidades infinitesimales) parte de un cociente de diferencias:

$g(x)=\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Luego a la variable h del cociente anterior se la hace tender por medio de un límite hacia el 0. Finalmente, queda constituida de la siguiente manera la derivada:

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Notación

Existen diversas formas para nombrar a las derivadas. Si f es una función, se escribe la derivada de la función f al valor x en varios modos:

$f'(x) \,$

se pronuncia "f primo de x" o "f prima de x",

$\frac{d}{dx}f(x)$

se pronuncia "d por d x de f de x" o "d d x de f de x",

$df \over dx$ (Notación de Leibniz)

se pronuncia "d f por d x" o "d f d x",

$D_x f \,$

se pronuncia "d sub x de f", y

$\dot{x}$

se pronuncia "punto x".

Diferenciabilidad

Una función es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si es diferenciable en todos los puntos en el intervalo. Si una función no es continua, no es una linea tangente y por tanto la función no es diferenciable en x; sin embargo, aunque una función no es continua en x, no puede ser diferenciable allí. En otras palabras, diferenciabilidad implica continuidad, pero no viceversa.

La derivada de una función diferenciable puede ser mismo diferenciable. La derivada de una primera derivada se llama la segunda derivada. De un modo parecido, la derivada de una segunda derivada es la tercera derivada, y así sucesivamente.

La cociente de diferencias de Newton

La derivada de una función f es la pendiente geometrica de la linea tangente del gráfico de f en x. Sin el concepto que se está para definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la linea tangente a una función dada, porque solamente sabe un punto en la linea tangente, este es ( x, f(x) ). En cambio, se aproxima la linea tangente con múltiple lineas secantes que tienen distancias progresivamentes más pocas entre los dos puntos que cruzan. Cuando toma el limite de las pendientes de las lineas secantes próximas en esta progresión, se consigue la pendiente de la linea tangente. Defina la derivada tomando el limite de la pendiente de lineas secantes al acercar ellas a la linea tangente.

Para encontrar las pendientes de las lineas secantes próximas, se elege un número poco h. h representa un cambio poco en x, y puede está o positivo o negativo. La pendiente de la linea que cruzar a los puntos ( x, f(x) ) y ( x + h, f(x + h) ) es

$f(x + h) - f(x) \over h$ .

Esta expresión es la cociente de diferencias de Newton. La derivada de f en x es el limite del valor de la cociente diferencial como las lineas secantes aproximan estar una linea tangente:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x + h) - f(x) \over h}$ .

Si la derivada de f existe en todos los puntos x, se puede definir la derivada de f como la función, el valor de cual en un punto x es la derivada de f en x.

Desde que substituir el 0 por h produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede ser unintuitivo. Una técnica es el simplificar del numerador de manera que se puede cancelar el h en el denominador. Esto es posible fácilmente por los polinomios. Por casi todas las funciones, no obstante, el resultado es desordenado. Afortunadamente, hay reglas generalas que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.

Anotaciones para diferenciación

La anotación más simple para diferenciación en uso actual es debido a Lagrange y usa el primo, '. Para tomar derivadas de f(x) al punto a, se escribe:

f'(a) para la primera derivada,

f''(a) para la segunda derivada,

f'''(a) para la tercera derivada,

f⁽ⁿ⁾(a) para la enésima derivada (n > 3).

Para la función qué valor a cada x es la derivada de f(x), se escribe f'(x). De modo parecido, para la segunda derivada de f se escribe f''(x), y así sucesivamente.

La otra anotación comuna para diferenciación es debida o Leibniz. Para la función qué valor a x es la derivada de f(x), se escribe:

$\frac{d\left(f(x)\right)}{dx}.$

Se puede escribir la derivada de f al punto a en dos métodos diferentes:

$\frac{d\left(f(x)\right)}{dx}\left.{\!\!\frac{}{}}\right|_{x=a} = \left(\frac{d\left(f(x)\right)}{dx}\right)(a).$

Si la producción de f(x) es una otra variable, por ejemplo, si y = f(x), se puede escribir la derivada como

$dy \over dx$

Derivadas mas altas se expresa como

$\frac{d^n\left(f(x)\right)}{dx^n}$ o $\frac{d^ny}{dx^n}$

para la enésima derivada de f(x) o y respectivamente. Históricamente, esto viene del hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es

$\frac{d \left(\frac{d \left( \frac{d \left(f(x)\right)} {dx}\right)} {dx}\right)} {dx}$

la cual se puede escribir sueltamente como

$\left(\frac{d}{dx}\right)^3 \left(f(x)\right) = \frac{d^3}{\left(dx\right)^3} \left(f(x)\right).$

Quitar los corchetes da la anotación más arriba.

La anotación de Leibniz es de muchos usos por cuanto le permite especificar la variable para diferenciación (en el denominador). Esto es pertinente especialmente para diferenciación parcial. Tambien facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos "d" parecen cancelar simbólicamente:

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.$

(En la formulación popular del cálculo en cuanto a limites, los términos "d" no puede cancelar literalmente, porque por cuentas propias son indefinidos; son definidos solamente cuando se usa juntos para expresar una derivada. En análisis no-standard, no obstante, se puede ver como números infinitesimales que cancelan.)

La anotación de Newton para diferenciación era poner un punto arriba del nombre de la función:

$\dot{x} = \frac{dx}{dt} = x'(t)$

$\ddot{x} = x''(t)$

y así sucesivamente.

La anotación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas de tiempo tales comos velocidad y aceleración, y en teoría EDO. Usualmente solamente se usa para primeras y segundas derivadas.

Sea f una función continua, y C su curva. Sea x = a la abscisa de un punto regular, es decir donde C no hace un ángulo. En el punto A(a, f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva. Su coeficiente director, o sea su pendiente, es f´(a), el número derivado de f en a.

La función a → f´(a) es la derivada de f.

imagen:pendiente.png

ROOPO en el punto de contacto, conociendo la pendiente de la tangente, es decir f '(a), puede uno saber a que ritmo crece o decrece la función. El signo de f´(a) determina en función f (si crece o no).

imagen:derivada.png

En este gráfico se ve que donde f es creciente, las tangentes apuntan hacia arriba (mirando de izquierda a derecha), y por lo tanto f´ es positiva, como en el punto D (x = d), mientras que donde f es decreciente, las tangentes apuntan hacia abajo y f´ es negativa, como en el punto B (x = b). En los puntos A y C, que son máximo y minimo local, la tangente es horizontal, luego f´(a) = 0 = f´(c).

Lo bueno de la función derivada es que se puede calcular sin dibujar la curva de f. En efecto, gracias a una propiedad geométrica de la tangente, tenemos la fórmula:

$f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac {f(x+h) - f(x)} {h}$

Por ejemplo, sea f(x) = x².

$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 -x^2}{h}$

$.\qquad = \lim_{h \to 0}\frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0}(2x + h) = 2x$

Algunas Derivadas Notables

Función F: primitiva de f	función f: derivada de F
x ⁿ+ k	nx ^n-1, para todo n ≠ 0
e^x + k	e^x
ln x + k	1 / x
1 / x ⁿ + k	-n / x ⁿ⁺¹
sen x	cos x
cos x	- sen x
tan x	sec² x
csc x	-(csc x)(cot x)
sec x	(sec x)(tan x)
cot x	-csc² x
a ^x, a>0	ln a . a ^x
√x	1 / 2√x
ax + b	a

Ejemplo

Sea f la función f(x) = 2x³ - 9x² - 24x + 51, definida sobre R. Para conocer sus variaciones miremos su derivada. f´(x) = 6x² - 18x + 24. Para encontrar el signo de f´ (x), tenemos que factorizarla: f´(x) = 6(x² - 3x - 4) = 6(x + 1)(x - 4) ( lo que se hace resolviendo una ecuación de segundo grado).

En la tabla siguiente se establece los signos de los factores (descartando el factor 6, siempre positivo), luego el signo de la derivada, y para terminar las variaciones de la función f.

imagen:estudio_función.png

Véase también:

Keywords: Función derivada, Continuidad (matemáticas), Cálculo, Derivación numérica, División por cero, EDO, Ecuación de segundo grado, Función matemática