Cuerpo (matemáticas)
Keywords: Cuerpo (matemáticas), Anillo (matemáticas), Aritmética modular, Criptografía, Cuerpo algebraicamente cerrado, División (matemáticas), Extensión algebraica, Ideal
Un cuerpo es un anillo de división conmutativo, i.e. tal que todo elemento distinto de cero es una unidad, es decir un cuerpo es un anillo conmutativo en el que todo elemento no nulo es inversible respecto del producto.
Ejemplos: los números racionales, reales, complejos.
En álgebra abstracta, un cuerpo es una estructura algebraica en la cual las operaciones de adición, substracción, multiplicación, y división (excepto la división por cero) se pueden realizar y las reglas asociativas , conmutativas y distributivas valen, las que son familiares de la aritmética de números ordinarios.
Los cuerpos son objetos importantes de estudio en álgebra puesto que proporcionan la generalización apropiada de los dominios de números, tales como los conjuntos de números racionales, de los números reales, o de los números complejos. Los cuerpos eran llamados dominios racionales.
El concepto de un cuerpo se usa, por ejemplo, al definir vectores y matrices, dos estructuras en la álgebra lineal que componentes pueden ser elementos de un cuerpo arbitrario. La teoría de Galois estudia la simetría de ecuaciones investigando las maneras en las cuales los cuerpos se pueden contener en uno a. Vea la teoría de cuerpos (matemáticas) para más.
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Definición
Un cuerpo es un anillo conmutativo (F, +, *) tal que 0 es distinto de 1 y todos los elementos de F salvo 0 tienen inverso multiplicativo.
Explicado, esto significa que vale lo siguiente:
Cerradura de F para + y *
- Para toda a, b en F, a + b y a * b pertenecen a F (o más formalmente, + y * son operaciones binarias en F);
Ambas + y * son asociativas
- Para toda a, b, c en F, a + (b + c) = (a + b) + c y a * (c * b) = (a * b) * c.
Ambas + y * son conmutativos
- Para toda a, b en F, a + b = b + a y a * b = b * a.
La operación * es distributivo sobre la operación +
- Para toda a, b, c, en F, a * (b + c) = (a * b) + (a * c).
Existencia de una identidad aditiva
- Existe un elemento 0 en F, tal que para todo a en F, a + 0 = a.
Existencia de una identidad multiplicativa
- Existe un elemento 1 en F diferente a 0, tal que para todo a en F, a * 1 = a.
Existencia de inversos aditivos
- Para cada a en F, existe un elemento -a en F, tal que a + (- a) = 0.
Existencia de inversos multiplicativos
- Para cada a ≠ 0 en F, existe un elemento a -1 en F, tal que a * a-1 = 1.
El requisito 0 ≠ 1 asegura que el conjunto que contiene solamente un cero no sea un cuerpo. Directamente de los axiomas, se puede demostrar que (F, +) y (F - { 0 }, *) son grupos conmutativos y que por lo tanto (véase la teoría elemental del grupo) el inverso aditivo -a y el inverso multiplicativo a-1 son determinados únicamente por a. Además, el inverso multiplicativo de un producto es igual al producto de los inversos:
- (a*b)-1 = a-1 * b-1
con tal que a y b sean diferentes de cero. Otras reglas útiles incluyen
- -a = (-1) * a
y más generalmente
- - (a * b) = (-a) * b = a * (-b)
así como
- a * 0 = 0,
todas reglas familiares de la aritmética elemental.
Ejemplos de cuerpos
- Los números racionales Q = { a/b|a, b en Z, b ≠ 0} donde está incluido el conjunto Z de los números enteros.
- Los números reales R.
- Los números complejos C.
- El cuerpo más pequeño tiene solamente dos elementos: 0 y 1. Es denotado por F2 o Z2 y puede a veces ser definido por las dos tablas
+ 0 1 * 0 1
0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1
- Tiene aplicaciones importantes en informática, especialmente en criptografía y teoría de la codificación.
- Más generalmente: si q > 1 es una potencia de un número primo, entonces existe (salvo isomorfismo) exactamente un cuerpo finito con los q elementos. No existen otros cuerpos finitos. Por ejemplo, para un número primero p, el conjunto de los números enteros módulo p es un cuerpo finito con los p elementos: esto se escribe a menudo como Z p = { 0, 1,...,p-1} donde las operaciones son definidas realizando la operación en Z, dividiéndo por p y tomando el resto, vea aritmética modular.
- Los números reales contienen varios cuerpos interesantes: los números reales algébricos, los números computables, y los números definibles.
- Los números complejos contienen el cuerpo de números algébricos, la clausura algebraica de Q.
- Los números racionales se pueden ampliar a los cuerpos de números p-adicos para cada número primo p.
- Sean E y F dos cuerpos con E un subcuerpo de F (es decir, un subconjunto de F que contiene 0 y 1, cerrado bajo las operaciones + y * de F y con sus propias operaciones definidas por restricción). Sea x un elemento de F no en E. Entonces E(x) se define como el subcuerpo más pequeño de F que contiene a E y a x. Por ejemplo, Q(i) es el subcuerpo de los números complejos C que consisten en todos los números de la forma a+bi donde a y b son números racionales.
- Para un cuerpo dado F, el conjunto F(x) de funciones racionales en la variable X con coeficientes en F es un cuerpo; esto se define como el conjunto de cocientes de polinomios con coeficientes en F.
- Si F es cuerpo, y p(X) es un polinomio irreducible en un anillo de polinomios F[X], entonces el cociente F[X]/<p(X)> es un cuerpo con un subcuerpo isomorfo a F. Por ejemplo, R [X]/<X2+1> es un cuerpo (de hecho, es isomorfo al cuerpo de los números complejos).
- Cuando F es un cuerpo, el conjunto F((x)) de series formales de Laurent sobre F es un cuerpo.
- Si V es una variedad algebraica sobre F, entonces las funciones racionales V → F forman un cuerpo, el cuerpo de funciones V.
- Si S es una superficie de Riemann, entonces las funciones meromórfas de S → C forman un cuerpo.
- Si I es un conjunto de índices, U es un ultrafiltro sobre I, y Fi es un cuerpo para cada i en I, el ultraproducto de Fi (usando U) es un cuerpo.
- Los números hiperreales forman un cuerpo que contiene los reales, más los números infinitesimales e infinitos.
- Los números surreales forman un cuerpo que contiene los reales, a excepción del hecho de que son una clase propia, no un conjunto. El conjunto de todos los números surreales con el cumpleaños menor que un cierto cardinal inaccesible es un cuerpo.
- Los nimbers forman un cuerpo, otra vez a excepción del hecho de que son una clase propia. El conjunto de nimbers con el cumpleaños menor que 2^(2^n), los nimbers con el cumpleaños menor que cualquier cardinal infinito son todos ejemplos de cuerpos.
Algunos teoremas iniciales
- El conjunto de elementos diferentes de cero de un cuerpo F (denotado típicamente por F×) es un grupo abeliano bajo multiplicación. Cada subgrupo finito de F× es cíclico.
- La característica de cualquier cuerpo es cero o un número primo. (la característica se define como el número entero positivo más pequeño n tal que n·1 = 0, o cero si no existe tal n; aquí n·1 significa n sumandos 1 + 1 + 1 +... + 1.)
- El número de elementos en cuerpos finitos es una potencia prima.
- Como anillo, un cuerpo no tiene ningún ideal excepto {0} y sí mismo.
- Para cada cuerpo F, existe (salvo isomorfismo) un cuerpo único G que contiene a F, es algebraico sobre F, y es algebraicamente cerrado. G se llama la clausura algebraica de F.
Construyendo nuevos cuerpos de otros dados
- Si un subconjunto E de un cuerpo (F,+,*) junto con las operaciones *, + restringido a E es en sí mismo un cuerpo, entonces se llama un subcuerpo de F. Tal subcuerpo tiene los mismos 0 y 1 que F.
- El cuerpo polinómico F(X) es el cuerpo de fracciones de polinomios en X con coeficientes en F.
- Una extensión algebraica de un cuerpo F es el cuerpo más pequeño que contiene a F y una raíz de un polinomio irreducible p(X) en F [X]. Alternativamente, es idéntico al anillo factor F [X]/<p(X)>, donde <p(X)> es el ideal generado por p(X).
Historia
Véase también:
- teoría de cuerpos.