Coordenadas polares
Keywords: Coordenadas polares, Coordenadas cartesianas, Función, Raíz cuadrada, Sistema de coordenadas, Teorema de Pitágoras, Trigonometría, Vector
Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas para definir la posicion de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia.
En muchos casos, es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una función en el plano o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas funciones en dichas coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En dichos casos, hacer uso de las coordenadas polares o esféricas puede simplificarnos mucho la vida.
Definamos un sistema ortonormal con eje de abscisas X y eje de ordenadas Y. Tracemos un vector centrado en el origen y acostado en el eje de las abscisas, y de longitud r. Si ahora decidimos inclinarlo con un ángulo α, tendremos un vector definido por las variables r y α. Es decir, para definir un punto en el plano por ejemplo podemos, bien definir un par ordenado (x,y) en coordenadas cartesianas, bien dar un largo r de vector y un angulo α en coordenadas polares. Ambas precisan un mismo punto en el plano.
(Si trabajamos en el espacio, tenemos (x,y,z) como variables en las coordenadas cartesianas, y (r,α,z) en coordenadas polares)
Como pasar de un sistema de coordenadas a otro
Utilizando las propiedades de la trigonometría clásica, tenemos que
- sin(α)= y/r ; cos(α)= x/r
de ahí obtenemos que x = cos(α) · r ; y = sin(α) · r
En este caso pasamos de las coordenadas cartesianas a polares.
Para pasar de polares a cartesianas, emplearemos el teorema de Pitágoras
- (a2 + b2 = c2) (la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa)
entonces: r2 = (x2 + y2); r = sqrt(x2 + y2) (sqrt es la raíz cuadrada)
Para calcular α, basta calcular el arco seno de y/r, de donde obtendremos dos valores de α, lo mismo para el arco coseno de x/r, con otros dos valores. Con cualquiera de estas tres ecuaciones obtenemos el ángulo α buscado.
- α = asin(y/r)
- α = acos(x/r)
- α = atan(y/x)