Convergencia

Keywords: Convergencia, Cauchy, Notación matemática

En el análisis real, una rama de las matemáticas, la convergencia es la propiedad de algunas sucesiones y series de ir progresivamente más cerca de un límite. Entonces, acertar la convergencia de una sucesión es decir que hay un límite para esa sucesión.

Definición

Dada una sucesión ${a n}$ , se dice que $f$ es convergente, o que tiene la propiedad de convergencia, si, y sólo si, para todo número $ε$ , existe otro número $N$ tal que cuando $n$ es mayor que o igual a $N$ , la diferencia entre el término $a n$ y el límite es menor que $ε$ . En notación matemática, una función es convergente si y sólo si
$\forall\epsilon > 0 \quad \exists N > 0 \quad | \quad n \geq N \quad \Rightarrow \quad | a - a_n | < \epsilon$

Tipos de convergencia

Los varios tipos de convergencia se obtiene principalmente por hacer modificaciones menores en la definición básica. He aquí los tipos de convergencia más comunes: (Las diferencias entre sus definiciones y la definición básica se marca en cursiva.)

El criterio de convergencia de Cauchy

Dada una sucesión ${a n}$ , se dice que $f$ es convergente en el sentido de Cauchy, si, y sólo si, para todo número $ε$ , existe otro número $N$ tal que cuando $n$ es mayor que o igual a $N$ , la diferencia entre el término $a n$ y el término $a n + 1$ es menor que $ε$ . En notación matemática, una función es convergente en el sentido de Cauchy si y sólo si
$\forall\epsilon > 0 \quad \exists N > 0 \quad | \quad n \geq N \quad \Rightarrow \quad | a_{n+1} - a_n | < \epsilon$