Continuidad (matemáticas)

Keywords: Continuidad (matemáticas), Asíntota, Continuo, Denominador, Derivación, Discreto, Dominio, Espacio topológico

En matemáticas, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida de un solo pedazo, en el sentido de que se puede dibujarla sin levantar el lápiz, como en figura siguiente:

imagen:función continua simple.png

(El intervalo I = [-5; 9] (cifras rojas) es el dominio de definición de f, el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) tiene sentido.
El intervalo J = [-5; 4] (cifras azules) es el codominio (también conocido como contradominio, rango o imagen) de f, el conjunto de los valores tomados por y = f(x). Se escribe f(I) = J.
El mayor elemento de J (aquí 4) se llama el máximo de f, y el meno elemento de J (aquí -5) es su mínimo)

Tabla de contenidos

1 Definiciones

1.1 Continuidad en un punto
1.2 Continuidad de una función

2 Funciones continuas

3 Funciones discontinuas

3.1 Tipos de discontinuidades

4 Funciones que no son continuas en ninguna parte

5 Derivabilidad implica continuidad

6 Teoremas sobre funciones continuas

Definiciones

Continuidad en un punto

En el caso de aplicaciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ , y de una manera más rigurosa se dice que una función f es continua en un punto a si existe f(a) , si existe el límite matemático de f(x) cuando x tiende hacia a y además coinciden.

Así pues, una función f continua en el punto a implica lo siguiente:

1. $\exists f(a)$
2. $\exists \lim_{x \to a^{\pm}} f(a) \in \mathbb{R}$
3. $\lim_{x \to a^-} f(a) = \lim_{x \to a^+} f(a)$

La función dibujada más abajo está definida sobre [-6 ; 6], continua sobre [-6 , 1[ ∪ ]1 ; 6], es decir que no es continua en x = 1, porque f(1) = 4 mientras que el límite a la izquierda de 1 es 3, o sea, al pasar de 1^- a 1, la función ejecuta un salto:

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Una definición más exacta es:

Si f(a)= b, la continuidad en a se expresa así: lim_x→a f(x) = b, parafraseando, cuando x se aproxima a a, f(x) se aproxima a b. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J centrado en b (en rojo en la figura), existe un intervalo abierto I centrado en a (en azul) tal que f(I) c J.
Si f ejecuta un salto (en el punto (c,d) de la figura) el teorema cae en falta: En efecto si se toma un intervalo J centrado en d (en amarillo) con un radio inferior al salto de f, todo intervalo I (en verde) alrededor de c, no importa cuan pequeño es, tiene una imagen que sale de J.
La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.

imagen:continuidad_en_R.png

Continuidad de una función

Una función, f es continua en un intervalo I, si y sólo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:

f es continua en un intervalo I ⇔ ∀ a ∈ I, lim_x→a f(x) = f(a)

La función anterior es continua tanto en [-6 ; 1 [ como en ] 1 ; 6].

Funciones continuas

Las funciones polinomiales, las racionales, trigonométricas y sus recíprocas, las funciones raíces, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición.

A pesar de ello una buena parte de las funciones racionales, trigonométricas y de raíces se puede decir que son discontínuas en $\mathbb{R}$

Un ejmplo de esto es la función inverso de x. $f(x) = \frac {1} {x}$

Esta función es una hipérbola compuesta por dos tramos. x < 0 y x > 0.
Como vemos, efectivamente es continua en todo su dominio $\left(- \infty ,0 \right) \cup \left( 0 , + \infty \right)$ pero no esta definida en x=0 por lo que no se la puede considerar una función contínua. Aunque se comporte como tal en los intervalos $\left(-\infty ,0 \right)$ o $\left(0,+ \infty \right)$

Lo mismo sucede con las otras funciones racionales: los puntos de aparente discontinuidad corresponden a valores de la variable que no pertenecen al dominio de definición de la función. Esto suele ser cuando el denominador se hace 0.

Las parábolas, por el contrario, son un ejemplo de funciones continuas a lo largo de todos los reales. A continuación podemos ver los dos casos citados

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Funciones discontinuas

La función discontinua más sencilla es la parte entera, E(x), que se define de la siguiente forma:

E(x) = [x], donde [x] es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que, E(x) ≤ x < E(x) + 1.

imagen:parte_entera.png

Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas.Esta función no es continua en los enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los segmentos abiertos (n; n+1) donde es constante.

Lo son también las funciones racionales en las que se puede anular el denominador. También pueden ser discontinuas las funciones a trozos o por tramos.

Tipos de discontinuidades

Discontinuidad evitable (o removible). Se trata de funciones casi continuas solo que no estan representadas en alguno de los puntos. Pueden ser transformadas en continuas mediante modificaciones, por ello se dice que son evitables. Se cumple lo siguiente:

$\lim_{x \to a^-} f(a) = \lim_{x \to a^+} f(a)$

$\not\exists f(a)$

Discontinuidades de primera especie:

Discontinuidad de salto. En éstas se produce un salto los extremos del cual no coinciden. Se cumple lo siguiente:

$\lim_{x \to a^-} f(a) \ne \lim_{x \to a^+} f(a)$

Discontinuidad asintótica. La discontinuidad viene marcada por una asíntota vertical. Se cumple lo siguiente:

$\lim_{x \to a^-} f(a) = \pm \infty$

$\lim_{x \to a^+} f(a) = \pm \infty$

Discontinuidad de segunda especie: Son las que tienen puntos para los que existe solo uno o ningún límite. Por ejemplo la función $f(x) = \sqrt{x}$ . Ésta tiene una discontinuidad de segunda especie en 0 pues no existe el limite $\lim_{x \to 0^-} f(x)$

$\not\exists\lim_{x \to a^-}f(a)$ y/o $\not\exists\lim_{x \to a^+}f(a)$

Más información en: función discontinua

Funciones que no son continuas en ninguna parte

Existen funciones que no son continuas en ningún punto: La más conocida es la función característica de Q, es decir la función que toma como valor 1 cuando x pertenece al conjunto de los racionales, y 0 si no. Obviamente, no se puede dibujar su curva, que está constituida por una infinidad de puntos en la recta y = 0 , y una infinidad (menor) de puntos en la recta y = 1.

Derivabilidad implica continuidad

Si una función es derivable en x=a entonces es continua en x=a

Hipótesis: Existe f '(a)

Tesis: f(x) es continua en x=a

Demostración:

$f(x) - f(a) = f(x) - {{f(a)}^{}}^{}$

$f(x) - f(a) = \frac {(f(x) - f(a)) (x - a)} {(x - a)}$

$f(x) = \frac {(f(x) - f(a)) (x - a)} {(x - a)} + f(a)$

$\lim_{x \to a}f(x)= \lim_{x \to a} \frac {(f(x) - f(a))} {(x - a)} \lim_{x \to a} (x - a) + \lim_{x \to a} f(a) = f '(a) \cdot 0 + f(a) = f(a)$

Es importante notar que el recíproco no es válido; es decir que nada se puede afirmar sobre la derivabilidad de una función continua. Un ejemplo claro de esta situación es la función valor absoluto f(x) = |x| que si bien es continua en todo su dominio no es derivable en x = 0

Teoremas sobre funciones continuas

Teorema de Weierstrass: Si f es continua en ${[a;b]^{}}^{}$ entonces presenta máximos y mínimos absolutos.
Teorema de Bolzano: Si f es continua en $[a;b] \and f(a).f(b) < 0 \rarr \exists c \in (a;b) / f(c) = 0$
Teorema del Valor Intermedio: Si f es continua en $[a;b] \and f(a) < k < f(b) \rarr \exists c \in (a;b) / f(c) = k$

Véase también: