Congruencia

Keywords: Congruencia, Anillo, Aritmética modular, Carl Friedrich Gauss, Coeficiente, Coprimo, Cuerpo, Divisibilidad, Ecuación

Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros $a$ y $b$ tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural $m$ , llamado el módulo; ésto se expresa utilizando la notación

$a \equiv b ({\rm mod} m)$

que se expresa diciendo que $a$ es congruente con $b$ módulo $m$ . Otra definición equivalente es que el módulo $m$ divide exactamente a la diferencia $a - b$ .

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo $p$ y cada entero $a$ no divisible por $p$ tenemos la congruencia:

$a^{p-1} \equiv 1 ({\rm mod} p).$

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuales son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia $x^2 - 5 \equiv 0 ({\rm mod} 11)$ , tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por $x \equiv 4$ y $x\equiv 7 ({\rm mod} m)$ , es decir $x$ puede ser cualquier entero de las sucesiones $11 k + 4$ y $11 k + 7$ . Contrariamente la congruencia $x^2-2 \equiv 0 ({\rm mod} m)$ , no tiene solución.

La notación y la terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquitiones Aritmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.

Propiedades

La congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad, por citar algunas:

La congruencia para un módulo fijo $m$ es una relación de equivalencia ya que se verifican las propiedades:

1) reflexiva: $a \equiv a ({\rm mod} m)$

2) simétrica: si $a \equiv b ({\rm mod} m)$ entonces también $b \equiv a ({\rm mod} m)$

3) transitiva: si $a \equiv b ({\rm mod} m)$ y $b \equiv c ({\rm mod} m)$ entonces también $a \equiv c ({\rm mod} m)$ .

Si $a$ es coprimo con $m$ y $a \equiv b ({\rm mod} m)$ , entonces $b$ también es coprimo con $m$ . Aún más si $a \equiv b ({\rm mod} m)$ , entonces el máximo común divisor de $a$ y $m$ es el mismo que el máximo común divisor de $b$ y $m$