Complejo simplicial

Keywords: Complejo simplicial

Sean $p_0, \ldots, p_k \in \mathbb{R}^n$ con $k \ge 1$ . Se dice que están en posición general si los vectores $p_1-p_0, \ldots, p_k-p_0$ son linealmente independientes. Se comprueba fácilmente que esta condición es equivalente a:

si $\sum_{i=0}^k \lambda _ip_i =0$ con $\sum_{i=0}^k \lambda_i=0$ , entonces $\lambda_0= \cdots= \lambda_k=0$ .

Un único punto $p_0 \in \mathbb{R}^n$ siempre se considera que está en posición general.

Si $p_0, \ldots, p_k \in \mathbb{R}^n$ están en posición general, la clausura convexa del conjunto $\{ p_0, \ldots, p_k \}$ se llama k-simple de $\mathbb{R}^n$ y se denota $<p_0, \ldots, p_k >$ . Se prueba sin dificultad que:

$<p_0, \ldots, p_k > = \{ a \in \mathbb{R}^n | a=\sum_{i=1}^k \lambda_ip_i \quad \textrm{con} \quad \sum_{i=0}^k \lambda_i=1 \quad \textrm{y} \quad \lambda_i \ge 0 \quad \forall i\}$

Los $λ i$ de la representación anterior se llaman coordenadas baricéntricas del punto $a$ . Si tomamos $\{p_{i_1}, \ldots, p_{i_l}\} \subseteq \{ p_0, \ldots, p_k\}$ el l-simple $<p_{i_1}, \ldots, p_{i_l}>$ se dice que es una cara de $<p_0, \ldots, p_k>$ .

Un 0-simple es un punto, un 1-simple es un segmento, un 2-simple es un triángulo y un 3-simple es un tetraedro.

Un complejo simplicial (finito) es un conjunto finito de simples $K$ de $\mathbb{R}^n$ que cumple las dos condiciones siguientes:

1) Si un simple pertenece a $K$ , entonces todas sus caras pertenecen a $K$ .

2) Si dos simples de $K$ se cortan, su intersección es una cara común. Categoría:Matemáticas