Círculo

Keywords: Círculo, Arco, Centro, Circunferencia, Conjunto, Cuerda, Dios, Disco

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El círculo.

En geometría Euclidiana, un círculo es el conjunto de todos los puntos de un plano que se encuentran a una distancia fija llamada radio de un punto fijo del mismo plano, llamado centro. Es común también que círculo se refiera a la superficie interior contenida y así es definido oficialmente por la RAE. Los círculos son curvas simples cerradas en un plano que dividen a éste en dos: interior y exterior. Si se utiliza la palabra círculo para referir a la superficie interior, entonces el perímetro de éste se nombra circunferencia. Si se utiliza la palabra círculo bajo su definición Euclidiana entonces la superficie interior se nombra disco.

Definición matemática

En un sistema coordenado $x$ - $y$ , el círculo con centro C( $x$ ₀, $y$ ₀) y de radio $r$ es el conjunto de todos los puntos $p$ _i{ $x$ , $y$ } tales que:

$\left( x - x_0 \right)^2 + \left( y - y_0 \right)^2=r^2.$

Si el círculo tiene su centro en el origen $O (0,0)$ , entonces la fórmula anterior puede simplificarse como:

x 2 + y 2 = r 2 .

El círculo con centro en el origen y de radio igual a $1$ es llamado círculo unitario.

Propiedades

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Tangente, cuerda y secante.

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Segmentos en un círculo.

Una línea que atraviesa el círculo por dos puntos se llama secante y una línea que que toca el círculo en un solo punto se llama tangente. Toda línea tangente es forzosamente perpendicular a el radio que va del punto de contacto al centro del círculo. El segmento de recta de una secante que está acotado por el círculo se llama cuerda, es decir una línea que une dos puntos cualesquiera del círculo. La cuerda más larga pasa por el centro del círculo y se llama diámetro, éste está formado por dos radios colineales y divide al círculo en dos partes idénticas. Cada una de las dos áreas del círculo que resultan de una cuerda es llamado segmento. Si se requiere distinguirlas entre si se les denomina segmento mayor y segmento menor, dependiendo del área que cada una contenga.

Si solo una parte del círculo es conocida (un arco cualquiera), entonces el centro puede encontrarse con el siguiente procedimiento:

Tómese dos cuerdas no paralelas.
Encuéntrese el punto medio de éstas cuerdas.
Tráscence líneas perpendiculares sobre estos puntos medios.
El punto donde éstas líneas se intersectan es el centro del círculo buscado.

El radio correspondiente a un arco puede calcularse a partir de la longitud L de la cuerda y la distancia D que va del centro de la cuerda al punto más cercano al círculo por varios métodos como son:

Por método geométrico.

Radius = ((L / 2) 2 + D 2) / 2 D

Por método trigonométrico.

${\mbox{Radius}}={{L}\over{\sin\pi-2\tan^{-1}({{L}\over{D}})}}.$

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Detalle de una cuerda.

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Arcos en un círculo.

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Sectores en un círculo.

Cualquier parte de la circunferencia comprendida entre dos radios se llama arco, y el área que este arco describe junto con los radios que lo generan se llama sector. La razón entre la longitud del arco y el radio definen el ángulo entre los dos radios en radianes, éste mismo valor define el tamaño del arco en radianes.

Todo triángulo define varios círculos:

Circunscrito, pasa por los tres vértices.
Inscrito, tiene como tangentes a los tres lados del triángulo y el cual está totalmente contenido en éste.
Círculos externos, se ubican fuera del triángulo, son perpendiculares a un lado y a las extensiones de los otros dos.
Círculo de los nueve puntos, el cuál contiene varios puntos importantes del triángulo.

El Teorema de Tales dice que si los tres vértices de un triángulo estan sobre un círculo dado con uno de sus lados siendo el diámetro del círculo, entonces el ángulo opuesto a éste lado es un ángulo recto.

Dados tres puntos cualesquiera que no pertenescan a una misma recta, éxiste un único círculo que contiene en perímetro a estos tres puntos (este círculo se refiere como circunscrito a el triángulo definido por éstos puntos). Dados tres puntos <(x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃)>, la ecuación del círculo está dada de forma simple por la determinante matricial:

$\det\begin{bmatrix} x & y & x^2 + y^2 & 1 \\ x_1 & y_1 & x_1^2 + y_1^2 & 1 \\ x_2 & y_2 & x_2^2 + y_2^2 & 1 \\ x_3 & y_3 & x_3^2 + y_3^2 & 1 \\ \end{bmatrix} = 0.$

Un círculo es una forma de sección cónica, con excentricidad cero.

Un círculo de radio, $r$ , tendrá una superficie o área de:

$S = \pi \cdot r^2$

Y un perímetro de:

$P = 2 \cdot \pi \cdot r$

Simbología cristiana

El círculo es el elemento geométrico perfecto, representación de lo celestial. Es símbolo solar y de la morada divina. Los ábsides son semicirculares: allí está simbólicamente Dios. La cúpula redonda es la morada de Dios en el cielo, (incluso se pintaba con representaciones celestes y ángeles).

El círculo se identificaba en la simbología cristiana con la eternidad. Las figuras redondas simbolizan la eternidad por no tener principio ni fin. Representan también el cielo, el mundo y la fortuna.

La palabra latina caelum significa cielo, firmamento y forma circular. San Gregorio Magno veía en la Osa Mayor que daba vueltas alrededor de la Polar sin alejarse nunca de ella, el símbolo de la Iglesia que jamás se aparta de Dios.

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