Formas de Chern-Simons

Keywords: Formas de Chern-Simons, Categorías, Clase característica, Forma diferencial, Geometría diferencial, Integral, Matemáticas, Teoría de gauge, Topología algebraica

En matemáticas, las formas de Chern-Simons son ciertas clases características secundarias. Se les han encontrado interés en teoría de gauge, y (especialmente las 3-formas) definen la acción de la teoría de Chern-Simons.

Dado una variedad y una 1-forma A a valores en un álgebra de Lie, se puede definir una familia de p-formas:

En una dimensión, la 1-forma de Chern-Simons viene dada por

$Tr[\bold{A}]$ .

En tres dimensiones, las 3-formas de Chern-Simons vienen dadas por

$Tr[\bold{F}\wedge\bold{A}-\frac{1}{3}\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}]$ .

En cinco dimensiones, las 5-formas de Chern-Simons vienen dadas por

$Tr[\bold{F}\wedge\bold{F}\wedge\bold{A}-\frac{1}{2}\bold{F}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A} +\frac{1}{10}\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}]$

donde se define la curvatura F como

$d\bold{A}+\bold{A}\wedge\bold{A}$ .

La forma general de Chern-Simons ω_2k-1 se define de manera tal que dω_2k-1 = Tr (F^k) donde se utiliza para definir F^k el producto cuña.

Vease teoría de gauge para más detalles.

En general, la p-forma de Chern-Simons se define para cualquier p impar. Confrontar teoría de gauge para las definiciones. Su integral sobre una variedad p-dimensional es un invariante de homotopía. Este valor se llama el número de Chern.

Vea también la teoría cuántica de campos topológica y anomalía chiral.

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