Campo vectorial

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En matemáticas un campo vectorial es una construcción del cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclídeo.

Los campos vectoriales se utilizan a menudo en la física para, por ejemplo, modelar la velocidad y la dirección de un líquido móvil a través del espacio, o la intensidad y la dirección de una cierta fuerza, tal como la fuerza magnética o la gravitacional, pues cambian punto a punto.

En el tratamiento matemático riguroso, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad.

Tabla de contenidos

1 Definición

2 Notas

3 Ejemplos

3.1 Campo gradiente
3.2 Campo central

4 Integral curvilínea

5 Curvas integrales

6 Vea también

Definición

Dado un subconjunto abierto y conexo X en Rⁿ un campo vectorial es una función a valores vectoriales

$\mathbf{F}: X \rightarrow \mathbb{R}^n$

Decimos que F es un campo vectorial C^k si F es k veces continuamente diferenciable en X.

Un punto x en X se llama estacionario si

$\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$

Un campo vectorial se puede visualizar como un espacio n-dimensional con un vector n - dimensional unido a cada punto en X.

Dados dos campos vectoriales C^k F, G definido sobre X y una función C^k a valores reales f definida sobre X

$(f \mathbf{F})(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}) \mathbf{F}(\mathbf{x})$

$\mathbf{(F+G)}(\mathbf{x}) = \mathbf{F}(\mathbf{x}) + \mathbf{G}(\mathbf{x})$

define el módulo de los campos vectoriales C^k sobre el anillo de las funciones C^k.

Notas

Los campos vectoriales se deben comparar a los campos escalares, que asocian un número o escalar a cada punto en el espacio (o a cada punto de alguna variedad).

Las derivadas de un campo vectorial, que dan por resultado un campo escalar u otro campo vectorial, se llaman divergencia y rotor respectivamente.

Ejemplos

Un campo vectorial para el movimiento del aire en la tierra asociará a cada punto en la superficie de la tierra un vector con la velocidad y la dirección del viento en ese punto. Esto se puede dibujar usando flechas para representar el viento; la longitud (magnitud) de la flecha será una indicación de la velocidad del viento. Un "Alta" en la función usual de la presión barométrica actuaría así como una fuente (flechas saliendo), y un "Baja" será un sumidero (flechas que entran), puesto que el aire tiende a moverse desde las áreas de alta presión a las áreas de presión baja.

Un campo de velocidad de un líquido móvil. En este caso, un vector de velocidad se asocia a cada punto en el líquido. En un túnel de viento, las lineas de campo se pueden revelar usando humo.

Campos magnéticos. Las lineas de campo se pueden revelar usando pequeñas limaduras de hierro.

Las ecuaciones de Maxwell permiten que utilicemos un conjunto dado de condiciones iniciales para deducir, para cada punto en el espacio euclídeo, una magnitud y una dirección para la fuerza experimentada por una partícula de prueba cargada en ese punto; el campo vectorial que resulta es el campo electromagnético.

Campo gradiente

Los campos vectoriales se pueden construir a partir de campos escalares usando el operador vectorial gradiente que da lugar a la definición siguiente.

Un campo vectorial C^k F sobre X se llama un campo gradiente o campo conservativo si existe una función C^k+1 a valores reales f: X → R (un campo escalar) de modo que

$\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \nabla f(\mathbf{x}) \qquad (\mathbf{x} \in X)$

La integral curvilínea sobre cualquier curva cerrada (e.g. γ(a) = γ(b)) en un campo gradiente es siempre cero.

$\oint_\gamma \langle \mathbf{F}( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle = \int_a^b \langle \nabla f( \mathbf{\gamma} (t)), \mathbf{\gamma}'(t) \rangle \, dt = \int_a^b \frac{d}{dt} f \circ \mathbf{\gamma}(t) \, dt = f(\mathbf{\gamma}(b)) - f(\mathbf{\gamma}(a)) = 0$

Campo central

Un campo vectorial C^∞ sobre Rⁿ \{0} se llama campo central si

$\mathbf{F}(\mathbf{O}(\mathbf{x})) = \mathbf{O}(\mathbf{F}(\mathbf{x})) \qquad (\mathbf{O} \in O(n, \mathbf{R}) \mbox{ , } \mathbf{x} \in R^n \setminus \lbrace 0 \rbrace )$

Donde O(n, R) es el grupo ortogonal. Decimos que los campos centrales son invariantes bajo transformaciones ortogonales alrededor de 0.

El punto 0 se llama el centro del campo.

Un campo central es siempre un campo gradiente.

Integral curvilínea

Una técnica común en la física es integrar un campo vectorial a lo largo de una curva. Dado una partícula en un campo vectorial gravitacional, donde cada vector representa la fuerza que actúa en la partícula en ese punto del espacio, la integral curvilínea es el trabajo hecho sobre la partícula cuando viaja a lo largo de cierta trayectoria.

La integral curvilínea se construye análogamente a la integral de Riemann y existe si la curva es rectificable (tiene longitud finita) y el campo vectorial es continuo.

Dado un campo vectorial F(x) y una curva γ(t) de a a b se define la integral curvilínea como

$\int_\gamma \langle \mathbf{F}( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle = \int_a^b \langle \mathbf{F}( \mathbf{\gamma}(t) ), \mathbf{\gamma}'(t) \rangle dt$

Algunas reglas simples para el cálculo de los integrales curvilíneas son

$\int_\gamma \langle (\mathbf{F} + \mathbf{G})( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle = \int_\gamma \langle \mathbf{F}( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle + \int_\gamma \langle \mathbf{G}( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle$

$\int_\gamma \langle \alpha \cdot \mathbf{F}( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle = \alpha \cdot \int_\gamma \langle \mathbf{F}( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle$

$\int_{-\gamma} \langle \mathbf{F}( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle = -\int_\gamma \langle \mathbf{F}( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle$

$\int_{\gamma_1 + \gamma_2} \langle \mathbf{F}( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle = \int_{\gamma_1} \langle \mathbf{F}( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle + \int_{\gamma_2} \langle \mathbf{F}( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle$

Curvas integrales

Los campos vectoriales tienen una interpretación agradable en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden autónomas.

Dado un C⁰ campo vectorial F definido sobre X

$\mathbf{y} = \mathbf{F}(\mathbf{x}) \qquad (\mathbf{x} \in X)$

podemos intentar definir curvas γ(t) sobre X de modo que para cada t en un intervalo I

$\mathbf{\gamma}(t) = \mathbf{x} \qquad (t \in I)$

$\mathbf{\gamma}'(t) = \mathbf{y} \qquad (t \in I)$

Puesto en nuestra ecuación de campo vectorial conseguimos

$\mathbf{\gamma}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{\gamma}(t)) \qquad (t \in I)$

lo que es la definición de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden explícita con las curvas γ(t) como soluciones.

Si F es Lipschitz continua se puede encontrar una curva C¹ única γ_x para cada punto x en X de modo que

$\mathbf{\gamma}_x(0) = \mathbf(x)$

$\mathbf{\gamma}'_x(t) = \mathbf{F}(\mathbf{\gamma}_x(t)) \qquad ( t \in (-\epsilon, +\epsilon) \subset \mathbb{R})$

Las curvas γ_x se llaman las curvas integrales del campo vectorial F y particionan X en clases de equivalencia. No es siempre posible ampliar el intervalo (-µ, +µ) a la recta real total. El flujo puede por ejemplo alcanzar el borde de X en un tiempo finito.

Integrar el campo vectorial a lo largo de cualquier curva integral γ da

$\int_\gamma \langle \mathbf{F}( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle = \int_a^b \langle \mathbf{F}( \mathbf{\gamma}(t) ), \mathbf{\gamma}'(t) \rangle dt = \int_a^b dt = \mbox{constante}.$

En dimensión 2 o tres se puede visualizar el campo vectorial como dando lugar a un flujo en X. Si dejamos caer una partícula en este flujo en el punto x se moverá a lo largo de una curva γ_x en el flujo dependiendo del punto inicial x. Si x es un punto estacionario en F entonces la partícula seguirá estacionaria.

Los usos típicos son aerodinámica en líquidos, flujo geodésico, los subgrupos uniparamétricos y la función exponencial en grupos de Lie.

Vea también

campo escalar
campo tensorial
cálculo vectorial
geometría diferencial de curvas
Campo vectorial en coordenadas cilíndricas y esféricas