Infinitesimal

Keywords: Infinitesimal, Arquímedes, Bishop Berkeley, Cauchy, Cálculo, Función matemática, Gottfried Leibniz, Isaac Newton, Karl Weierstrass

Tabla de contenidos
1 Introducción
2 Definición
3 Propiedades de los infinitésimos
4 Comparación de infinitésimos
5 Véase también

Introducción

El cálculo infinitesimal fue propuesto inicialmente por Arquímedes. Luego fueron utilizados por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, en los albores del surgimiento del cálculo moderno pero posteriormente fueron desacreditados por Bishop Berkeley y finalmente olvidados. Durante en el siglo XIX Karl Weierstrass y Cauchy comenzaron a utilizar la definición formal de límite matemático, por lo que el cálculo infinitesimal ya no era necesario. Sin embargo durante el siglo XX los infinitesimales fueron rescatados como una herramienta que ayuda a calcular límites de forma simple. Es bastante popular el uso de infinitésimos en la bibliografía rusa.

Otra manera de trabajar con los infinitésimos es considerarlos como números, y no como límites, es decir trabajar en un conjunto \real que contenga más números que los usuales. Se les llaman números hiperreales, y son una creación del análisis no estándar.

Definición

Un infinitesimal o infinitésimo es una cantidad infinitamente pequeña. Se puede definir matemáticamente como:

\lim_{x \to a}f(x) = 0 se dice que f es un infinitésimo en x=a

Algunas funciones son infinitésimos en algunos puntos, por ejemplo:

f(x) = x-1 es un infinitésimo en x=1
g(x) = sen(x) es un infinitésimo en 0 + kπ con k \in \mathbb{Z}

Propiedades de los infinitésimos

  1. La suma de dos infinitésimos es un infinitésimo.
  2. El producto de dos infinitésimos es un infinitésimo.
  3. El producto de un infinitésimo por una función acotada es un infinitésimo.
  4. El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.

Comparación de infinitésimos

Dadas \lim_{x \to a}f(x) = 0 y \lim_{x \to a} g(x) = 0

  1. Si \lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = \infin f y g son infinitésimos comparables en x=a y f es un infinitésimo de orden inferior a g en x=a
  2. Si \lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = l con l perteneciente a \mathbb{R} f y g son infinitésimos comparables en x=a
Si \lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = l con l perteneciente a \mathbb{R} - \left\{0\right\} f y g son infinitésimos del mismo orden en x=a
  1. En particular, si \lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = 1 f es un infinitésimo equivalente en x=a

Véase también


Keywords: Infinitesimal, Arquímedes, Bishop Berkeley, Cauchy, Cálculo, Función matemática, Gottfried Leibniz, Isaac Newton, Karl Weierstrass