Anillo (matemáticas)
Keywords: Anillo (matemáticas), Asociatividad, Conmutatividad, Cuerpo (matemáticas), Elemento inverso, Elemento neutro, Grupo conmutativo, Ideal de un anillo, Inverso multiplicativo
Sea A un conjunto, y sean + y · dos operaciones binarias. Se dirá que el trío (A,+,·) es un anillo si se cumplen las siguientes propiedades:
(A,+) es un grupo conmutativo, esto es, verifica:
- a+(b+c)=(a+b)+c para todos los elementos de A (asociatividad).
- Existe un elemento, 0, tal que 0+a=a+0=a para todo a de A (elemento neutro).
- Todo elemento, a, de A tiene inverso, -a, en el anillo, donde -a es inverso de a si a+(-a)=(-a)+a=0 (elemento inverso).
- a+b=b+a para todos los elementos de A (conmutatividad).
(A,·) verifica:
- a·(b·c) = (a·b)·c para todos los elementos de A (asociatividad).
- a·(b+c)=a·b+a·c y (b+c)·a=b·a+c·a para todos los elementos del anillo (propiedad distributiva con respecto a +).
A + y a · se les denomina la suma y el producto, respectivamente, del anillo A. Asimismo, al neutro de la suma suele denominársele cero del anillo.
Definiciones asociadas a los anillos
- Elemento unitario: si un elemento, que denotamos 1, cumple 1·a=a·1=a para todo elemento a del anillo, se llama elemento unitario.
- Inverso multiplicativo: si estamos en un anillo que posea un elemento unitario, b es inverso multiplicativo de a si a·b=b·a=1, esto es, si posee un inverso con respecto al producto.
- Elemento inversible o unidad: es todo aquel elemento que posee inverso multiplicativo.
- Divisor del cero: un elemento a, distinto de cero, es divisor del cero por la izquierda, si existe algún b, tal que a·b=0. Lo es por la derecha si existe un c tal que c·a=0. Se dirá que a es divisor del cero, si lo es tanto por la derecha como por la izquierda.
- Leyes de simplificación: si a no es cero, se dice que se verifican las leyes de simplificación si a·b=a·c implica que b=c, y además, b·a=c·a implica que b=a
Tipos de anillos
- Anillo conmutativo: aquel en el que el producto es conmutativo, esto es, a·b=b·a para todos a y b.
- Anillo unitario: aquel que posee un elemento unitario y además, éste es distinto del neutro de la suma.
- Anillo de división: es el anillo en el cual todo elemento, a excepción del neutro de la suma, tiene inverso.
- Anillo con leyes de simplificación: aquel en el que se cumplen las leyes de simplificación. Si un anillo no tiene divisores del cero, se cumplen las leyes de simplificación, y el recíproco también es cierto.
- Dominio de integridad: si un anillo es conmutativo, unitario y no posee divisores del cero, es un dominio de integridad.
- Cuerpo: se trata de un anillo de división conmutativo.
Anillo