Análisis real
Keywords: Análisis real, Antiderivada, Análisis funcional, Axioma, Continuidad, Convergencia, Cálculo, Demostración matemática, Derivación
El análisis real es la rama de las matemáticas que tiene que ver con los números reales y las funciones de los números reales. Se puede verlo como extensión rigorosa del cálculo, que estudia más profundamente las sucesiones y sus límites, continuidad, derivación, integración, y sucesiones de funciones.
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Temas del análisis real
Conceptos básicos
Los textos del «cálculo avanzado» normalmente comienzan con una introducción a las demostraciones matemáticas y la teoría de conjuntos, y redefinición de los conceptos básicos. Entonces, o se introduce los números reales de axiomas, o se los construye de sucesiones de números racionales. Después, hacen una investigación de los propiedades de los números reales, siendo entre los más importantes la desigualdad del triángulo y la desigualdad de Bernoulli.
Sucesiones y series
Después de terminar con los números reales, se investiga la convergencia, un concepto central al análisis, a través de los límites de sucesiones y series. Varios tipos de series, como las series de poder y la serie de Taylor, que ayuda en las definiciones de la exponencial y las funciones trigonométricas, son importantes en esta etapa. Se estudia los varios tipos de subconjuntos de los números reales: conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, y conjuntos compactos (con que se introduce el teorema de Heine-Borel).
Funciones y derivadas
Ahora se estudian las funciones, y se define el concepto y propiedades de continuidad. Esto requiere el uso de límites de funciones, que ahora se define más precisamente (con la definición épsilon-delta del límite). Aquí se presenta y demuestra los teoremas importantes, como el teorema de valor intermedia. A este momento se puede definir la derivada como un límite, y se puede demostrar rigorosamente los teoremas importantes sobre la derivación.
Integración
La integración, que se puede definir (imprecisamente) como «la área debajo de la traza» de una función va naturalmente después de la derivación, porque es también la antiderivada. Se comienza con el integral de Riemann, que consiste en dividir el intervalo en subintervalos (con una partición), extender los subintervalos hacia arriba hasta que llegue, o al mínimo de la función en el subintervalo (en cual caso se le llama la suma inferior), o al máximo en el subintervalo (en cual caso se le llama la suma superior). Mas existe otro tipo de integral, que puede integrar más funciones, llamado el integral de Lebesgue, que usa la medida y el concepto de «en casi todas partes». Éste se muestra después.
Con la teoría de integración se puede demostrarvarios teoremas, en el caso de Riemann o de Lebesgue, como el teorema de Fubini, pero más importantemente el teorema fundamental del cálculo (una paradoja, porque no se lo ve muy detalladamente en el cálculo; sólo en el análisis real.)
Regreso a los conceptos básicos
Habiendo hecho todo esto, es útil regresar a los conceptos de continuidad y convergencia, y estudiarlos en un contexto más abstracto, en preparación para estudiar los espacios de funciones, que se hace en el análisis funcional.