Análisis numérico
Keywords: Análisis numérico, Algoritmo, Análisis de errores, Castellano, Coma flotante, Derivación, Derivación numérica, Determinante, Ecuaciones diferenciales
El análisis numérico es la rama de la matemática que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.
| Tabla de contenidos |
Introducción general
El Análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada.
En el contexto del cálculo numérico, un algoritmo es un procedimiento que nos puede llevar a una solución aproximada de un problema mediante un número de pasos finitos que pueden ejecutarse de manera lógica. En algunos casos, se les da el nombre de métodos constructivos a estos algoritmos numéricos.
El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para calculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.
Desde esta perspectiva, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos los procedimientos matemáticos existentes en base a algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.
Conceptos generales
- Algoritmo (métodos constructivos)
- Análisis de errores
- Estabilidad numérica
- Estabilidad de los algoritmos
- Representación finita e infinita de números
A partir de aquí (los ordenadores?) aparece un concepto adicional, el concepto de error. Este concepto aparece como consecuencia de la naturaleza finita de los ordenadores que solo pueden operar con números representados de forma finita.
Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas pueden llevarse adelante a través de la generación de una serie de números que a su vez alimentan de nuevo al algoritmo (feedback). Esto proporciona un poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina que a medida que va completando un ciclo va llegando a la solución. El problema ocurre en determinar hasta cuando deberá continuar con el ciclo, o si nos estamos alejando de la solución del problema.
Finalmente, otro concepto paralelo al análisis numérico es el de la representación, tanto de los números como de otros conceptos matemáticos como los vectores, polinomios, etc... Por ejemplo, para la representación en ordenadores de números reales, se emplea el concepto de coma flotante que dista mucho del empleado por la matemática convencional.
Aplicaciones
En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc...) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales.
Otro motivo que ha propiciado el auge del análisis numérico ha sido el desarrollo de los ordenadores. El aumento brutal de la potencia de cálculo ha convertido en posibles y en eficientes a algoritmos poco dados a su realización a mano.
Problemas
Clasificación atendiendo a su dimensión
Los problemas de esta disciplina se pueden dividir en dos grupos fundamentales:
- Problemas de dimensión finita: aquellos cuya respuesta son un conjunto finito de números, como las ecuaciones algebraicas, los determinantes, los problemas de valores propios, etc...
- Problemas de dimensión infinita: problemas en cuya solución o planteamiento intervienen elementos descritos por una cantidad infinita de números, como integración y derivación numéricas, cálculo de ecuaciones diferenciales, interpolación, etc...
Clasificación atendiendo a su naturaleza o motivación
Asimismo, existe una subclasificación de estos dos grandes apartados en tres categorías de problemas, atendiendo a su naturaleza o motivación para el empleo del cálculo numérico:
- 1) Problemas de tal complejidad que no poseen solución analítica.
- 2) Problemas en los cuales existe una solución analítica, pero ésta, por complejidad u otros motivos, no puede explotarse de forma sencilla en la práctica.
- 3) Problemas para los cuales existen métodos sencillos pero que, para elementos que se emplean en la práctica, requieren una cantidad de cálculos excesiva; mayor que la necesaria para un método numérico.
Métodos del Análisis numérico
- Resolución numérica de ecuaciones no lineales
- Resolución numérica de sistemas de ecuaciones lineales
- Resolución numérica de sistemas de ecuaciones no lineales
- Interpolación
- Interpolación polinómica de Lagrange
- Interpolación polinómica de Hermite
- Interpolación trigonométrica
- Interpolación mediante funciones lineales a trozos
- Derivación numérica
- Integración numérica
- Problemas de valores propios
- Resolución numérica de ecuaciones diferenciales
Otros temas de análisis numérico
Enlaces externos
wikibooks:Numerical Methods
En inglés
- Numerical analysis DMOZ category
- Numerical Recipes Homepage - with free, complete downloadable books
En castellano
- Artículo de Análisis numérico en la Enciclopedia Libre Universal en Español
- Elibre:Análisis numérico
- http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/analisis-numerico/
Referencias
- Nick Trefethen (1992), The definition of numerical analysis, SIAM News, noviembre.
Categoría:Análisis numérico
Categoría:Teoría de números