Convergencia absoluta

Keywords: Convergencia absoluta, Serie (matemáticas), Criterio de comparación

Dada una serie:

$\sum_{n=0}^\infty a_n$ se dice que es absolutamente convergente si la serie

$\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right|$ es convergente.

Dicho de otra manera, la convergencia absoluta implica convergencia, aunque la afirmación recíproca no es verdadera.

Sea

b n = a n + | a n |

entonces se cumple que:

$0 \le a_n + |a_n| \le 2|a_n|$ o sea:

$0 \le b_n \le 2|a_n|$

Como $\sum_{n=0}^\infty a_n$ es absolutamente convergente, entonces

$\sum_{n=0}^\infty 2|a_n|$ es convergente y aplicando el Criterio de comparación, es posible afirmar que

$\sum_{n=0}^\infty b_n$ también es convergente.

Despejando:

a n = b n - | a n |

$\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^\infty (b_n - |a_n|) = \sum_{n=0}^\infty b_n - \sum_{n=0}^\infty |a_n|$ es convergente por tratarse de una diferencia entre series convergentes.

Si : $\sum_{n=0}^\infty a_n$ es convergente pero no absolutamente, entonces se dice que la serie es condicionalmente convergente.