Álgebra

Keywords: Álgebra, Anillo, Análisis, Cuerpo, Círculo, Cónica, Ecuación, Elipse, Espacio vectorial

Álgebra es la parte de la matemática que tiene por objeto de estudio la cantidad considerada de la forma más general posible.

Etimológicamente, proviene del árabe (también nombrado por los árabes Amucabala)جبر (yebr) (al-dejaber), con el significado de reducción, operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).

Históricamente, el álgebra era la ciencia de las reducciones y las comparaciones; por reflejo en las matemáticas el álgebra es el dominio relativo a la resolución de las ecuaciones polinomiales, es decir de la forma P(X) = 0, donde P es un polinomio:

Para P de grado 1, se tuvieron que inventar las fracciones y los números negativos, y se adoptó la representación de una recta para el conjunto de todos los números reales.
Para P de grado 2, se tuvieron que inventar las raíces cuadradas, y se pensó en números imaginarios para ecuaciones del tipo x² = -1, que contradicen la regla de los signos. + números complejos
Para P de grado 3, se descubrió que era imprescindible emplear los números complejos para resolverlas, aún cuando la solución encontrada fuese a fin de cuentas real. Se vislumbró también el vínculo entre la trigonometría y ciertas ecuaciones de tercer grado.
Para el cuarto grado, se empezaron a manipular las raíces con maestría, evidenciando la noción de grupo de permutaciones.
El quinto grado fue la causa de una gran desilusión, pues se demostró que no se podía resolver el caso general mediante raíces (cuadradas, cúbicas...).

Como consecuencia, el álgebra cambió de rumbo y amplió su dominio a todas las teorías que se habían inventado alrededor del tema inicial, incorporando las teorías de los grupos, anillos, cuerpos y sus extensiones, espacios vectoriales (álgebra lineal), y parte de la geometría, la relacionada con los polinomios de segundo grado de dos variables, es decir las cónicas (elipse, parábola, hipérbola, círculo), ahora incluidas en el álgebra bilineal.

El álgebra se fundió con éxito con otras ramas de la matemáticas como la lógica (álgebra de Boole), el análisis y la topología (álgebra topológica).

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